Aufgabe 9 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:17 Mo 12.05.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Berechnen Sie von den nachfolgenden Funktionen die Koordinaten der Wendepunkte ! Geben Sie bei den Aufgabenteilen f) - i) zusätzlich die Gleichung(en) der Wendetangente(n) an !
a) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - 5x $
b) $ f(x) = [mm] \bruch{3}{4}\ [/mm] x ^ 4 - [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] $
c) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{5}\ (x^5 [/mm] - [mm] \bruch{19}{3}\ x^3 [/mm] - 4x) $
d) $ f(x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] + 1 $
e) $ f(x) = [mm] \bruch{2x^2}{(x+1)^2}\ [/mm] $ für $ x [mm] \ne [/mm] (-1) $
f) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{2}\ x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] $
g) $ f(x) = x * [mm] e^x [/mm] $
h) $ f(x) = [mm] \bruch{2 - x^2}{x^2 + 1}\ [/mm] $
i) $ f(x) = [mm] x^2 [/mm] * ln(x) $
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a) [mm]f(x)= \bruch{1}{3}x^3-2x^2-5x[/mm]
[mm]f'(x)= x^2-4x-5[/mm]
[mm]f''(x)= 2x-4=0[/mm]
x = 2
W.(2;-15,3)
b) [mm]f'(x)= 3x^3-3x^2-6x[/mm]
[mm]f''(x)= 9x^2-6x-6[/mm]
[mm] x_1_,_2=[/mm] [mm] \bruch{6+-\wurzel{36-4*9*(-6)}}{18} [/mm]
[mm] x_1=1,2152
[/mm]
[mm] x_2=-9,874
[/mm]
W.(1,2152;-4,589)
W.(-9,874;7799,271)
c) [mm]f'(x)= \bruch{1}{5}*(5x^4-19x^2-4)[/mm]
[mm]f''(x)= \bruch{1}{5}*(20x^3-38x)[/mm]
[mm]0=\bruch{1}{5}x*(20x^2-38)[/mm]
[mm]x= \wurzel{\bruch{9}{5}}[/mm]
W.(-1,378;3,423)
W.(0;0)
W.(1,378:-3,42309)
d) [mm]f'(x)=4x^3-12x^2[/mm]
[mm]f'(x)=12x^2-24x[/mm]
[mm]0=x(12x-24)[/mm]
x=2
W.(2;-15)
W.(0;1)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Do 05.06.2008 | | Autor: | olivier |
Test
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Do 05.06.2008 | | Autor: | olivier |
Test3
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Do 05.06.2008 | | Autor: | olivier |
Test4
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a)
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3-2x^2-5x [/mm] ich schreibe auch gleich die ersten drei Ableitungen von f auf
[mm] f'(x)=x^2-4x-5
[/mm]
f''(x)=2x-4
[mm] f'''(x)=2\not=0 [/mm] (die 3.Ableitung darf für [mm] x_W [/mm] nicht Null sein ! Das ist hier der Fall, da 2 für alle x nicht gleich Null bleibt)
Notwendige Bedingung für das Vorliegen von Wendepunkten ist: [mm] f''(x_W)=0
[/mm]
[mm] f''(x_W)=0=2x-4 \Rightarrow x_W=2
[/mm]
Um die y-Koordinate des Wendepunktes auszurechnen, setze ich [mm] x_W [/mm] in f ein:
[mm] f(x_W)=\bruch{1}{3}*2^3-2*2^2-5*2=\bruch{8}{3}-18=-\bruch{46}{3}=-15\bruch{1}{3}
[/mm]
Damit lauten die Koordinaten des Wendepunktes (2 | [mm] -15\bruch{1}{3})
[/mm]
b)
[mm] f(x)=\bruch{3}{4}x^4-x^3-3x^2
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^3-3x^2-6x
[/mm]
[mm] f''(x)=9x^2-6x-6
[/mm]
f'''(x)=18x-6
[mm] f''(x_W)=0=9x^2-6x-6 [/mm] |:9
[mm] 0={x_W}^2-\bruch{2}{3}x_W-\bruch{2}{3} [/mm] ergibt mit der pq-Formel
[mm] x_W_{1,2}=\bruch{1}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] dies ergibt, eingesetzt in f:
[mm] Wp_1\left(\bruch{1}{3}+\bruch{\wurzel{7}}{3} | \bruch{-20*\wurzel{7}-71}{27}\right) \approx [/mm] (1.215|-4.589) und
[mm] Wp_2\left(\bruch{1}{3}-\bruch{\wurzel{7}}{3} | \bruch{20*\wurzel{7}-71}{27}\right) \approx [/mm] (-0.548|-0.6698)
Die 3.Ableitungen sind für beide [mm] x_W-Werte [/mm] ungleich Null !
c)
[mm] f(x)=\bruch{1}{5}\left(x^5-\bruch{19}{3}x^3-4x\right) [/mm] oder mit Bruch in die Klammer gebracht:
den Bruch hätte ich als Faktor ruhig außerhalb der Klammer lassen können, sagt Loddar ! Werde die Ableitungen nochmal durchrechnen...Schorsch
[mm] f(x)=\bruch{x^5}{5}-\bruch{19}{15}x^3-\bruch{4}{5}x
[/mm]
[mm] f'(x)=x^4-\bruch{19}{5}x^2-\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] f''(x)=4x^3-\bruch{38}{5}x
[/mm]
[mm] f'''(x)=12x^2-\bruch{38}{5}
[/mm]
[mm] f''(x_W)=0=4x^3-\bruch{38}{5}x=4x\left(x^2-\bruch{19}{10}\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_W_1=0 [/mm] und [mm] Wp_1 [/mm] (0|0) [mm] f'''(x_W_1)\not=0
[/mm]
Das Auflösen der Klammer ergibt den 2. und 3.Wendepunkt:
[mm] x_W_2=-\bruch{\wurzel{190}}{10} [/mm] und [mm] x_W_3=\bruch{\wurzel{190}}{10} [/mm] dies ergibt eingesetzt in f:
[mm] Wp_2 \left(-\bruch{\wurzel{190}}{10} | \bruch{3727*\wurzel{190}}{15000}\right) \approx [/mm] (-1.378 | 3.42)
[mm] Wp_3 \left(\bruch{\wurzel{190}}{10} | -\bruch{3727*\wurzel{190}}{15000}\right) \approx [/mm] (1.378 | -3.42)
Dank an Loddar für die Korrekturen, hatte die y-Werte der Wp falsch berechnet
Die Überprüfung der 3.Ableitung ergab für [mm] Wp_1 [/mm] einen negativen Wert und für die anderen beiden Wp positive Werte, also alle 3 Ableitungen sind ungleich Null !
d)
[mm] f(x)=x^4-4x^3+1
[/mm]
[mm] f'(x)=4x^3-12x^2
[/mm]
[mm] f''(x)=12x^2-24x
[/mm]
f'''(x)=24x-24
[mm] f''(x_W)=0=12x^2-24x=12x(x-2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_W_1=0 [/mm] und [mm] y_W_1=1 [/mm] also [mm] Wp_1 [/mm] (0|1)
sowie [mm] x_W_2=2 [/mm] und [mm] y_W_2=-15 [/mm] also [mm] Wp_2 [/mm] (2|-15)
[mm] f'''(x_W)=24*x_W -24\not=0
[/mm]
e)
[mm] f(x)=\bruch{2x^2}{(x+1)^2} [/mm] für x [mm] \not=(-1)
[/mm]
Wie man am Nenner und Graphen der Funktion erkennen kann, ist die Funktion für x=-1 nicht definiert. Dort ist eine senkrechte Asymptote oder Polstelle (die y-Werte für x-Werte links und rechts von -1 gehen gegen unendlich bzw. kommen aus dem Unendlichen !)
Beim Berechnen der Ableitungen verwende ich die Quotientenregel: [mm] \left(\bruch{u}{v}\right)'=\bruch{u'*v-u*v'}{v^2}
[/mm]
ich setze [mm] u=2x^2 [/mm] und u'=4x sowie [mm] v=(x+1)^2 [/mm] und v'=2(x+1)*1=2x+2
[mm] f'(x)=\bruch{4x*(x+1)^2-2x^2*2*(x+1)}{(x+1)^4}
[/mm]
Nach Kürzen von (x+1) und Zusammenfassen ergibt dies:
[mm] f'(x)=\bruch{4x}{(x+1)^3}
[/mm]
Für die 2.Ableitung setze ich: u=4x und u'=4 sowie [mm] v=(x+1)^3 [/mm] und [mm] v'=3(x+1)^2
[/mm]
[mm] f''(X)=\bruch{4*(x+1)^3-4x*3(x+1)^2}{(x+1)^6}
[/mm]
Jetzt durch [mm] (x+1)^2 [/mm] kürzen und zusammenfassen:
[mm] f''(x)=\bruch{4-8x}{(x+1)^4} ausgeklammert=\bruch{4*(1-2x)}{(x+1)^4}
[/mm]
(Die Rechnung zur 3.Ableitung ist ähnlich...hier nur das Ergebnis):
[mm] f'''(x)=\bruch{24*(x-1)}{(x+1)^5}
[/mm]
[mm] f''(x_W)=0=\bruch{4*(1-2x)}{(x+1)^4} [/mm] Der Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist, also
[mm] 0=4(1-2*x_W) \Rightarrow x_W=\bruch{1}{2}, [/mm] eingesetzt in f ergibt dies den
Wendepunkt Wp [mm] \left(\bruch{1}{2} | \bruch{2}{9}\right)
[/mm]
Die 3.Ableitung [mm] f'''(x)=\bruch{24*(x-1)}{(x+1)^5} [/mm] ist nur für x=1 gleich Null, damit gilt:
[mm] f'''(x_W)=f'''\left(\bruch{1}{2}\right)\not=0
[/mm]
f)
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^4+x^3=x^3*(\bruch{x}{2}+1)
[/mm]
[mm] f'(x)=2x^3+3x^2
[/mm]
[mm] f''(x)=6x^2+6x=6x*(x+1)
[/mm]
f'''(x)=12x+6=6*(2x+1)
[mm] f''(x_W)=0=6x(x+1) \Rightarrow x_W_1=0 [/mm] und [mm] y_W_1=0, [/mm] also [mm] Wp_1 [/mm] (0|0)
sowie [mm] x_W_2=-1 [/mm] und [mm] y_W_2 [/mm] [mm] =-\bruch{1}{2}, [/mm] also [mm] Wp_2 \left(-1|-\bruch{1}{2}\right) [/mm] hatte beim y-Wert das Minuszeichen vergessen...
Gesucht werden die beiden Wendetangenten, für diese gilt: [mm] W_t=m*x_W+n
[/mm]
Die Steigung m entspricht der 1.Ableitung von f für [mm] x=x_W: [/mm] also [mm] m=f'(x_W) [/mm] für [mm] x_W_1 [/mm] bedeutet dies:
[mm] m=f'(0)=2*0^3+3*0^2=0 [/mm] also muss für [mm] W_t(x_W)=0=0*0+n [/mm] auch n=0 sein !
Die Gleichung der 1.Wendetangente lautet also [mm] W_t_1(x)=0 [/mm] (ist identisch mit der x-Achse)
Für die 2.Wendetangente gilt: [mm] m=f'(-1)=2*(-1)^3+3*(-1)^2=1
[/mm]
n berechnet man mit: n=f(x)-m*x d.h. [mm] n=-\bruch{1}{2}-1*(-1)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Gleichung der 2.Wendetangente laut also [mm] W_t_2(x)=x+\bruch{1}{2}
[/mm]
g)
[mm] f(x)=x*e^x [/mm] für die Ableitungen benutzt man die Produktregel (u*v)'=u'*v+u*v'
in diesem Fall setze ich u=x und u'=1 sowie [mm] v=e^x [/mm] und [mm] v'=e^x*1=e^x
[/mm]
[mm] f'(x)=1*e^x+x*e^x= e^x*(x+1)
[/mm]
Gleiches bei der 2.Ableitung...
[mm] f''(x)=1*e^x*(x+1)+e^x*1=e^x*(x+1+1)=e^x*(x+2)
[/mm]
(Die Rechnung zur 3.Ableitung ist ähnlich...hier nur das Ergebnis):
[mm] f'''(x)=e^x*(x+3)
[/mm]
[mm] f''(x_W)=0=e^x*(x_W+2), [/mm] da [mm] e^x [/mm] nie Null wird, liegt der Wp bei x=-2 [mm] \Rightarrow [/mm] Wp [mm] \left(-2 | -2*e^{-2}\right)
[/mm]
Für die Berechnung der Wendetangente setzen wir wieder [mm] m_{Wt}=f'(x_W)
[/mm]
[mm] f'(x_W)=e^{-2}*(-2+1)=-e^{-2}
[/mm]
[mm] n=f(x_W)-m_{Wt}*x_W
[/mm]
[mm] n=-2e^{-2}-(-e^{-2}*(-2))=(-2e^{-2})*(-2e^{-2})=-4e^{-2}
[/mm]
damit lautet die Gleichung der Wendetangente: [mm] W_t(x)=-e^{-2}*x-4e^{-2} [/mm] oder ausgeklammert: [mm] W_t(x)=-e^{-2}*(x+4)
[/mm]
Die 3.Ableitung [mm] f'''(x)=e^x*(x+3) [/mm] wird nur für x=-3 Null und nicht für [mm] x_W=-2 [/mm] ! Also gilt [mm] f'''(x_W)\not=0
[/mm]
h)
[mm] f(x)=\bruch{2-x^2}{x^2+1} [/mm] wie bei Aufgabe e) benutzen wir für die Ableitungen die Quotientenregel
ich setze [mm] u=2-x^2 [/mm] und u'=-2x sowie [mm] v=x^2+1 [/mm] und v'=2x
[mm] f'(x)=\bruch{-2x*(x^2+1)-(2-x^2)*2x}{(x^2+1)^2} [/mm] Zähler ausmultiplizieren ergibt
[mm] f'(x)=-\bruch{6x}{(x^2+1)^2}
[/mm]
für die 2.Ableitung setze ich u=-6x und u'=-6 sowie [mm] v=(x^2+1)^2 [/mm] und [mm] v'=2*(x^2+1)*2x=4x*(x^2+1)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-6*(x^2+1)^2-(-6x*4x*(x^2+1))}{(x^2+1)^4} [/mm] Zusammenfassen und Kürzen durch [mm] (x^2+1) [/mm] ergibt
[mm] f''(x)=\bruch{6*(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}
[/mm]
(Die Rechnung zur 3.Ableitung ist ähnlich...hier nur das Ergebnis):
[mm] f'''(x)=\bruch{72x*(1-x^2)}{(x^2+1)^4}
[/mm]
[mm] f''(x_W)=0=\bruch{6*(3x^2-1)}{(x^2+1)^3} [/mm] dies gilt, wenn der Zähler Null ist
[mm] 0=6*(3x^2-1) [/mm] | :18 ergibt [mm] 0=x^2-\bruch{1}{3} \Rightarrow x_{1,2}=\pm\wurzel{\bruch{1}{3}}=\pm\bruch{\wurzel{3}}{3}
[/mm]
Eingesetzt in f ergibt dies die Wendepunkte
[mm] Wp_1 \left(\bruch{\wurzel{3}}{3} | \bruch{5}{4}\right)
[/mm]
[mm] Wp_2 \left(-\bruch{\wurzel{3}}{3} | \bruch{5}{4}\right)
[/mm]
für beide Wendepunkte gilt: [mm] f'''(x_W)\not=0
[/mm]
Wie schon in den Voraufgaben, setze ich die [mm] x_W-Werte [/mm] in die 1.Ableitung von f ein
[mm] m_{x_W_1}=f'(x_W_1)=-\bruch{6*\bruch{\wurzel{3}}{3}}{(\bruch{1}{3}+1)^2}=-\bruch{2*\wurzel{3}}{\bruch{16}{9}}
[/mm]
[mm] m_{x_W_1}=f'(x_W_1)=-\bruch{9*\wurzel{3}}{8}
[/mm]
n=y-mx (verkürzt) ergibt [mm] n=\bruch{5}{4}-\left(-\bruch{9*\wurzel{3}}{8}*\bruch{\wurzel{3}}{3}\right)=\bruch{19}{8}
[/mm]
Damit lautet die 1.Wendetangente [mm] W_t_1(x)=-\bruch{9*\wurzel{3}}{8}*x+\bruch{19}{8}
[/mm]
Für die Berechnung der 2.Wendetangente ändert sich bei der 1.Ableitung nur das Vorzeichen des Zählers, somit ist
[mm] m_{x_W_2}=f'(x_W_2)=\bruch{9*\wurzel{3}}{8} [/mm] für n bedeutet dies bei der Berechnung aber keine Änderung zur
1.Wendetangente, da bei der Gleichung n=y-mx das fehlende Minus vor m durch das Minus vor [mm] x_W_2 [/mm] ausgeglichen wird.
somit ist [mm] n=\bruch{19}{8} [/mm] und die 2.Wendetangente heißt:
[mm] W_t_2(x)=\bruch{9*\wurzel{3}}{8}*x+\bruch{19}{8}
[/mm]
i)
[mm] f(x)=x^2*ln(x) [/mm] erneut kommt die Produktregel zur Anwendung
ich setze [mm] u=x^2 [/mm] und u'=2x sowie v=ln(x) und [mm] v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x}=2x*ln(x)+x [/mm] (jetzt könnte man dies mit x*(2*ln(x)+1) noch anders schreiben, ich lasse es aber so und setze:)
u=2x und u'=2 sowie v=ln(x) und [mm] v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f''(x)=2*ln(x)+2x*\bruch{1}{x}+1 [/mm] (nur nicht das abgeleitete x vergessen !)
f''(x)=2*ln(x)+2+1=2*ln(x)+3
[mm] f'''(x)=2*\bruch{1}{x}=\bruch{2}{x}
[/mm]
[mm] f''(x_W)=0=2*ln(x_W)+3 \Rightarrow ln(x_W)=-\bruch{3}{2} \Rightarrow x_W=e^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] f(x_W)=f(e^{-\bruch{3}{2}})=(e^{-\bruch{3}{2}})^2*ln(e^{-\bruch{3}{2}})
[/mm]
[mm] f(x_W)=e^{-3}*-\bruch{3}{2}=-\bruch{3}{2}*e^{-3}
[/mm]
Dies ergibt den Wendepunkt Wp [mm] \left(e^{-\bruch{3}{2}} | -\bruch{3}{2}*e^{-3}\right)
[/mm]
für den Wendepunkt gilt: [mm] f'''(x_W)\not=0 (f'''(e^{-\bruch{3}{2}})=\bruch{2}{e^{-\bruch{3}{2}}}=2*e^{\bruch{3}{2}} [/mm] und das ist ungleich Null !)
Für die Ermittlung der Wendetangente [mm] W_(x_W)=m*x_W+n [/mm] setzen wir wieder
[mm] m_{W_t}=f'(x_W)=2*x_W*ln(x_W)+x_W=2*e^{-\bruch{3}{2}}*ln(e^{-\bruch{3}{2}})+ e^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] m_{W_t}=f'(x_W)=2*e^{-\bruch{3}{2}}*-\bruch{3}{2}+e^{-\bruch{3}{2}}=
[/mm]
[mm] m_{W_t}=f'(x_W)=-3*e^{-\bruch{3}{2}}+e^{-\bruch{3}{2}}=-2*e^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
n=y-m*x (verkürzt) somit ist [mm] n=-\bruch{3}{2}*e^{-3}-(-2*e^{-\bruch{3}{2}}*e^{-\bruch{3}{2}})=
[/mm]
[mm] n=-\bruch{3}{2}*e^{-3}+2*e^{-3}=\bruch{e^{-3}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow W_t(x)=-2*e^{-\bruch{3}{2}}*x+\bruch{e^{-3}}{2}
[/mm]
Hat richtig Spaß gemacht, da ich nach etwas Übung immer besser zurecht kam...
Anmerkung zu Aufgabe i):
wenn man die 1.Ableitung umschreibt (x ausklammern), erhält man:
f'(x)=x*(2*ln(x)+1) für die 2.Ableitung setzt man dann
u=x und u'=1 sowie v=2*ln(x)+1 und [mm] v'=\bruch{2}{x} [/mm] dann geht´s so weiter:
[mm] f''(x)=1*(2*ln(x)+1)+x*\bruch{2}{x}=2*ln(x)+1+2=2*ln(x)+3 [/mm] und somit das gleiche Ergebnis wie in meiner anderen Berechnung. Nur ist es so vielleicht doch sicherer...man kann die Ableitung des x-Summanden kaum vergessen...)
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
> Damit lauten die Koordinaten des Wendepunktes (2 | [mm]-15\bruch{1}{3})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Danke für die schnelle Durchsicht. Das mit der Formel für die Tangentengleichung werde ich mir nochmal anschauen müssen.
Schorsch
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Danke nochmals für die Tipps ! Loddar !
Schorsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Anke... |
Hallo,
ich bin neu hier und versuche mal was zu beantworten... willst du grundsätzlich wissen, wie du Wendepunkte bestimmst oder konkret die Aufgaben beantwortet haben?
Die notwende Bedingung ist ja, dass f´´(x0)=0 ist, also setzt du deine Gleichung einfach null und berechnest x. (sofern es möglich ist! )
dann kommt die hinreichende Bedinung, also, dass f´´´(x) ungleich 0
dann setzt Du das Ergebnis der n.B. in die 3. abl. ein und siehst aufgrund des Ergebnisses, was es für eine Krümmung ist.
Wendepunkt > 0 bedeutet rechts-links-krümmung
wendepunkt < 0 bedeutet links-rechts-krümmung
dann setzt du das Ergebnis aus der n.b. noch in die grundgleichung ein und hast somit den Punkt des Wendestelle.
Mit der Tangente kann ich leider (noch) nicht wirklich weiterhelfen. Würde aber mit der Tangentengleichung y=mt mal x mal b
rechnen.
und würde ganz normal eine Tangente berechnen, auf Grund des Eben genannten Wendepunktes/der Wendepunkte.
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.
lg Anke
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier erhalte ich jeweils andere Funktionswerte.
