Aufgabe aus der FT < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Mi 09.01.2008 | | Autor: | tb1804 |
| Aufgabe | Es sei f [mm] \in O(\IC) [/mm] eine ganze Funktion mit der Eigenschaft [mm] f(-\bruch{1}{n})=f(\bruch{1}{n}) \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm]
Zeige: f(-i)=f(i). |
Liebe GesinnungsgenossINNen,
Die obige Aufgabe gilt es examensadäquat zu lösen und ich scheine hier ein Brett vor dem Kopf zu haben bzw. den Ansatz nicht zu sehen und auch nicht zu finden. Für alle Ansätze bin ich jetzt schon dankbar!
Viele Grüße,
Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mi 09.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Tom
> Es sei f [mm]\in O(\IC)[/mm] eine ganze Funktion mit der Eigenschaft
> [mm]f(-\bruch{1}{n})=f(\bruch{1}{n}) \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> Zeige: f(-i)=f(i).
>
> Liebe GesinnungsgenossINNen,
> Die obige Aufgabe gilt es examensadäquat zu lösen und ich
> scheine hier ein Brett vor dem Kopf zu haben bzw. den
> Ansatz nicht zu sehen und auch nicht zu finden. Für alle
> Ansätze bin ich jetzt schon dankbar!
Ziel ist offenbar zu zeigen, dass die Funktion gerade ist, d.h. dass $f(z) = f(-z)$ fuer alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt, woraus natuerlich auch der Spezialfall mit $z = i$ folgt :)
Dazu kannst du wie folgt vorgehen: definiere die ganze Funktion $g(z) := [mm] \frac{1}{2}(f(z) [/mm] + f(-z))$. Diese ist gerade, erfuellt also $g(z) = g(-z)$ fuer alle $z [mm] \in \IC$. [/mm] Und wenn $f$ bereits gerade ist, so gilt $f [mm] \equiv [/mm] g$.
Zeigen musst du also $f [mm] \equiv [/mm] g$. So. Und dafuer kannst du die Bedingung aus der Voraussetzung zusammen mit einem bekannten Satz aus der Funktionentheorie nutzen :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mi 09.01.2008 | | Autor: | tb1804 |
Hallo Felix und Danke für die gute Idee der Konstruktion von g.
Stuzig macht mich allerdings, dass Du die Voraussetzung aus der Aufgabenstellung (f(-1/n)=f(1/n)) nirgendwo ausnutzt!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 09.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hallo Felix und Danke für die gute Idee der Konstruktion
> von g.
>
> Stuzig macht mich allerdings, dass Du die Voraussetzung
> aus der Aufgabenstellung (f(-1/n)=f(1/n)) nirgendwo
> ausnutzt!?
Berechne doch mal [mm] $g(\frac{1}{n})$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 09.01.2008 | | Autor: | tb1804 |
Ahhhhhh, schon klar.
Gezeigt ist also:
g(z)=f(z) in z=1/n woraus mit der Ganzheit von g folgt, dass [mm] g\equiv [/mm] f.
Sehr schön!
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mi 09.01.2008 | | Autor: | tb1804 |
beantwortet....
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