Aufgabe über symmetrische Grup < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] (i_{1},...,i_{k})\in S_{n} [/mm] ein Zyklus. Zeigen Sie für alle [mm] \pi \in S_{n}:
[/mm]
[mm] \pi (i_{1},...,i{k}) \pi^{-1} [/mm] = [mm] (\pi(i_{1}),...,\pi(i_{k})) [/mm] |
Hi! Wies einfach nicht wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Fr 23.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm](i_{1},...,i_{k})\in S_{n}[/mm] ein Zyklus. Zeigen Sie
> für alle [mm]\pi \in S_{n}:[/mm]
> [mm]\pi (i_{1},...,i{k}) \pi^{-1}[/mm] =
> [mm](\pi(i_{1}),...,\pi(i_{k}))[/mm]
>
> Hi! Wies einfach nicht wie ich bei dieser Aufgabe anfangen
> soll.
Nimm dir ein $i [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] und schau, was die Permutation auf der linken Seite bzw. die Permutation auf der rechten Seite mit $i$ macht.
Untersuche dafuer zwei Faelle: $i = [mm] \pi(i_j)$ [/mm] fuer $j [mm] \in \{ 1, \dots, k \}$, [/mm] oder $i [mm] \not\in \{ \pi(i_1), \dots, \pi(i_k) \}$.
[/mm]
LG Felix
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Also bei uns im Skript steht dass die Rechtmultiplikation für eine Gruppe so definiert ist:
[mm] mg^{-1}=g(m) [/mm] für m,g [mm] \in [/mm] G
Wenn ich das auf die Aufgabe anwende dann komm ich ja zu:
[mm] \pi (i_{1},...i_{k}) \pi^{-1} [/mm] = [mm] \pi(\pi(i_{1},...,i_{k}))= (\pi(\pi(i_{1})),...,\pi(\pi(i_{k})))
[/mm]
Jetzt könnt ich ja eigentlich argumentieren dass eine 2-malige Ausführung von [mm] \pi [/mm] nichts mehr ändert, aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass das nicht stimmt, denn wenn ich die Permutation anschaue die 1 mit 2 vertauscht, also
in Zykelschreibweise (1,2) und das doppelt anwende dann bekomm ich ja:
(1,2) (1,2) = id
Brauch wohl noch einen Tipp....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also bei uns im Skript steht dass die Rechtmultiplikation
> für eine Gruppe so definiert ist:
> [mm]mg^{-1}=g(m)[/mm] für m,g [mm]\in[/mm] G
Ich glaube, da wirfst du ziemlich was durcheinander. Das brauchst du hier gar nicht. Du verwendest die ganz normale Gruppenmultiplikation: das ist hier Verknuepfung von Abbildungen!
Die Permutationen sind ja Abbildungen von [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] auf sich selbst. Also nimm ein Element aus der Menge und schau, worauf die Abbildungen es abbilden.
LG Felix
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Reicht es also aus, wenn ich beide Seiten auf z.B. [mm] \pi(i_{j}) [/mm] anwende?
Und dann noch ne Fallunterscheidung mache mit [mm] j\in [/mm] {1,...,k} und [mm] j\not\in [/mm] {1,...,k}?
Vielen Dank für die Hilfe, ich glaub ich habs verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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