Aufgabe zu AN 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:15 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Monoid |
| Aufgabe | Seien [mm] J\subseteqN [/mm] und [mm] (f_j) [/mm] mit j Element J ein ONS im linearen Raum (V,[.,.]) der [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Regelfunktionen [mm] f:\IR\to\IC. [/mm]
zz [mm] (f_j) [/mm] ist genau dann vollständig, wenn für alle Funktionen f,g Element V die Gleichung: [mm] \summe_{j Element J}^{}c_j*d_j=[f,g] [/mm] gilt.
Hinweis: [mm] d_j [/mm] ist periodisch und ONS = Orthonormalsystem
Dabei sind [mm] c_j=[f,f_j] [/mm] und [mm] d_j=[g,f_j] [/mm] die Fourierkoeffizienten von f bzw. von g. |
Hallo Community,
Ich würde bei so einer Aufgabe erst mal die Konvergenz zeigen wollen. Da wir noch keine VL zur Fourieranalysis hatten, bin ich jedoch mir nicht sicher beim Vorgang. Wenn ich die Literatur dazu richtig verstanden habe, soll ich links/rechts ableiten (=partiell?) und die Reihe konvergiert dann gegen das (arithmetische) Mitte. Soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mo 18.04.2011 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm]J\subseteqN[/mm] und [mm](f_j)[/mm] mit j Element J ein ONS im
> linearen Raum (V,[.,.]) der [mm]2\pi-periodischen[/mm]
> Regelfunktionen [mm]f:\IR\to\IC.[/mm]
> zz [mm](f_j)[/mm] ist genau dann vollständig, wenn für alle
> Funktionen f,g Element V die Gleichung: [mm]\summe_{j Element J}^{}c_j*d_j=[f,g][/mm]
> gilt.
> Hinweis: [mm]d_j[/mm] ist periodisch und ONS = Orthonormalsystem
> Dabei sind [mm]c_j=[f,f_j][/mm] und [mm]d_j=[g,f_j][/mm] die
> Fourierkoeffizienten von f bzw. von g.
> Hallo Community,
>
> Ich würde bei so einer Aufgabe erst mal die Konvergenz
> zeigen wollen. Da wir noch keine VL zur Fourieranalysis
> hatten, bin ich jedoch mir nicht sicher beim Vorgang. Wenn
> ich die Literatur dazu richtig verstanden habe, soll ich
> links/rechts ableiten (=partiell?) und die Reihe
> konvergiert dann gegen das (arithmetische) Mitte. Soweit
> richtig?
Ist schon lange her, aber bei
[mm]\summe_j=[/mm]
muss ich an Parseval denken.
Wenn die [mm] f_j [/mm] ein VONS sind, wird man zeigen müssen, dass
[mm]<\summe_i f_i|\summe_k f_k>[/mm]
durch Herausziehen der Summen und Ausnutzen der Orthonormaleigenschaft der obigen linken Seite entspricht.
Und wenn anders herum obige Gleichung für alle [mm] f [/mm] und [mm] g [/mm] gilt, muss man damit ebenso zeigen, dass
[mm]||g-\summe_i f_i||^2=f_j|g-\summe_k f_k>[/mm]
verschwindet.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 So 24.04.2011 | | Autor: | Monoid |
Das ist sicherlich ein hilfreicher Hinweis, leider zu knapp für mich... Eine etwas ausführliche Erklärung würde mir sehr helfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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