Aufgabe zu Finite Differenzen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das folgende Problem (Differentialgleichung mit Randbedingungen)
[mm] \bruch{d^{3}m}{dz^{3}}+\lambda\bruch{dm}{dz}=1
[/mm]
m(0) = 3
m(1) = 5
soll mit 5 äquidistanten inneren Stützstellen (i = 1...5) diskretisiert werden soll.
Für die erste Ableitung sollen Rückwärtsdifferenzen und für die dritte Ableitung soll das folgenden Schema verwendet werden.
[mm] \bruch{d^{3}y}{dx^{3}}|_i\approx\bruch{y_{i+2}-2y_{i+1}+2y_{i-1}-y_{i-2}}{2*\Delta*x^{3}}+\bruch{\Delta x^{2}}{4}\bruch{d^{5}y}{dx^{5}}|_i
[/mm]
1. Zeichnen Sie ein Diagramm aus dem die Lage der Stützstellen auf der z-Achse (Angabe als Bruch) hervorgeht.
2. Tragen Sie die Randbedingungen in das Diagramm ein.
3. Stellen die diskretisiert Gleichung für eine beliebige innere Stützstelle auf.
4. Geben Sie die Konsistenzordnung für das Schema für die dritte Ableitung an.
5. Geben Sie die Konsistenzordnung für das gesamte Schema an.
6. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem in Matrixform auf. Die Koeffizienten für die Stützstellen 1 und 5 sollen nur markiert, aber nicht berechnet werden. |
Hallo zusammen,
studiere Maschinenbau mit der Vertiefung Virtual Engineering. Daher haben wir auch das Fach Numerische Methoden. Da ich in dem Fach nicht wirklich gut bin, habe ich mir Aufgaben vom Prof besorgt. Lösungen gibt er dazu aber leider keine raus.
Habe mich daher an der oben stehenden Aufgabe versucht und würde gerne eure Meinung dazu wissen. Bin für alle Verbesserungen, Tipps oder Erklährungen schon jetzt Dankbar. Hilft mir einfach beim lernen und verstehen.
1. Leider kann ich keine Datein anhängen, aber ich versuch es zu beschreiben. Rechtwinkliges Koordinatensystem mit z auf der Abszisse und m auf der Ordinate. Habe dann auf der z-Achse bei 0-4 die Punkte i-2 bis i+2 angetragen. Was mit der Angabe als Bruch gemeint ist, versteh ich nicht?
2. Das geht ja recht einfach, die Punkte (0|3) und (1|5) einzeichnen und mit RB1 bzw. RB2 bezeichnen
3.
[mm] \bruch{d^{3}m}{dz^{3}}|_i\approx\bruch{m_{i+2}-2m_{i+1}+2m_{i-1}-m_{i-2}}{2*\Delta*z^{3}}
[/mm]
Erste Ableitung mit Rückwärtsdifferenzen:
[mm] \bruch{dm}{dz}|_i=\bruch{m_i-m_{i-1}}{\Delta z}
[/mm]
Alles zusammen:
[mm] bruch{m_{i+2}-2m_{i+1}+2m_{i-1}-m_{i-2}}{2*\Delta*z^{3}}+\lambda \bruch{m_i-m_{i-1}}{\Delta z} [/mm] = 1
An der Stelle i=2 diskretisiert:
[mm] \bruch{m_{4}-2m_{3}+2*5-3}{2*\Delta*z^{3}}+\lambda \bruch{m_2-5}{\Delta z} [/mm] = 1
[mm] \Delta [/mm] z habe ich mit 1 angesetzt. Darf ich das so einfach? Dann würde sich der Termin weiter vereinfachen:
[mm] \bruch{m_{4}-2m_{3}+2*5-3}{2}+\lambda \bruch{m_2-5}{1} [/mm] = 1
[mm] \bruch{m_{4}-2m_{3}+2*5-3}{2}+\lambda (m_2-5) [/mm] = 1
4. Konsistenzordnung des Schemas der dritten Ableitung:
KO = 3 da [mm] \Delta z^{3}
[/mm]
stimmt die Begründung so?
5. Konsistenzordnung des gesamten Schemas:
Siehe 4.)
6.
Sortieren nach [mm] m_i:
[/mm]
[mm] m_{i+2}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})+m_{i+1}(\bruch{-1}{\Delta z^{3}})+m_{i}(\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{i-1}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{i-2}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) [/mm] = 1
Einsetzen der Randbedingungen:
[mm] m_{4}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})+m_{3}(\bruch{-1}{\Delta z^{3}})+m_{2}(\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{1}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{0}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) [/mm] = 1
[mm] m_{4}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})+m_{3}(\bruch{-1}{\Delta z^{3}})+m_{2}(\bruch{\lambda}{\Delta z})+5(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})+3(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) [/mm] = 1
In Matrix einsetzen:
[mm] \pmat{ (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & 0 & 0\\ (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) &(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & 0 \\ (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) \\ 0 & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) \\ 0 & 0 & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z})} \pmat{ 3 \\ 5 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) \\ (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})}
[/mm]
Zum Markieren habe ich jetzt die "3" und [mm] "m_5" [/mm] umkringelt.
So das ist mein Lösungsvorschlag. Freue mich über jede Art von Rückmeldung/Kritik.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Do 04.02.2010 | | Autor: | max3000 |
> 1. Leider kann ich keine Datein anhängen, aber ich versuch
> es zu beschreiben. Rechtwinkliges Koordinatensystem mit z
> auf der Abszisse und m auf der Ordinate. Habe dann auf der
> z-Achse bei 0-4 die Punkte i-2 bis i+2 angetragen. Was mit
> der Angabe als Bruch gemeint ist, versteh ich nicht?
Musst du nicht nur die Punkt [mm] \bruch{0}{4}, \bruch{1}{4}, [/mm] ..., [mm] \bruch{4}{4} [/mm] an der z-Achse antragen? Steht ja da dass das ganze 5 äquidistante Stützstellen haben soll.
> 2. Das geht ja recht einfach, die Punkte (0|3) und (1|5)
> einzeichnen und mit RB1 bzw. RB2 bezeichnen
Super :)
> 3.
> [mm]\bruch{d^{3}m}{dz^{3}}|_i\approx\bruch{m_{i+2}-2m_{i+1}+2m_{i-1}-m_{i-2}}{2*\Delta*z^{3}}[/mm]
>
> Erste Ableitung mit Rückwärtsdifferenzen:
>
> [mm]\bruch{dm}{dz}|_i=\bruch{m_i-m_{i-1}}{\Delta z}[/mm]
>
> Alles zusammen:
>
> [mm]bruch{m_{i+2}-2m_{i+1}+2m_{i-1}-m_{i-2}}{2*\Delta*z^{3}}+\lambda \bruch{m_i-m_{i-1}}{\Delta z}[/mm]
> = 1
Du hast mit dem Formeleditor was falsch gemacht. Du meinst sicher das:
[mm] \bruch{m_{i+2}-2m_{i+1}+2m_{i-1}-m_{i-2}}{2*\Delta z^{3}}+\lambda \bruch{m_i-m_{i-1}}{\Delta z}
[/mm]
Das sieht eigentlich auch richtig aus.
> An der Stelle i=2 diskretisiert:
> [mm]\bruch{m_{4}-2m_{3}+2*5-3}{2*\Delta*z^{3}}+\lambda \bruch{m_2-5}{\Delta z}[/mm]
> = 1
>
> [mm]\Delta[/mm] z habe ich mit 1 angesetzt. Darf ich das so einfach?
> Dann würde sich der Termin weiter vereinfachen:
Nein das darfst du nicht ^^. [mm] \Delta [/mm] z ist doch deine Schrittweite. Und da du 5 Stützstellen über dem Intervall von 0 bis 1 hast ist [mm] \Delta z=\bruch{1}{4} [/mm] .
Ab hier musst du das also nochmal überarbeiten.
> [mm]\bruch{m_{4}-2m_{3}+2*5-3}{2}+\lambda \bruch{m_2-5}{1}[/mm] = 1
>
> [mm]\bruch{m_{4}-2m_{3}+2*5-3}{2}+\lambda (m_2-5)[/mm] = 1
>
> 4. Konsistenzordnung des Schemas der dritten Ableitung:
> KO = 3 da [mm]\Delta z^{3}[/mm]
> stimmt die Begründung so?
Das wäre zu einfach :D. Hier musst du das denke ich mittels Taylorentwicklung zeigen, dass
[mm] $|\bruch{d^3 m}{\Delta z}-D_3(m)|=O(\Delta z^3)$
[/mm]
Das [mm] D_3 [/mm] ist hier deine Approximation für die dritte Ableitung.
Also für [mm] \bruch{d^3 m}{\Delta z} [/mm] einfach mal Taylorentwicklung durchführen, da dürfte sich glaube ich einiges rauskürzen (z.b. die 5. Ableitung die dann auftaucht). Dann taucht dort glaub ich noch die 4. Ableitung auf, die auch nochmal mit Taylor entwickelt werden muss. Ich habs noch nicht probiert, aber so macht man sowas in der Regel.
> 5. Konsistenzordnung des gesamten Schemas:
> Siehe 4.)
Hier glaube ich dass es KO 1 hat, da der Rückwärtsdifferenzenquotient nur KO 1 hat und desswegen das ganze nie über KO 1 hinaus kommen wird. Da bin ich mir aber nicht ganz sicher.
> 6.
> Sortieren nach [mm]m_i:[/mm]
> [mm]m_{i+2}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})+m_{i+1}(\bruch{-1}{\Delta z^{3}})+m_{i}(\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{i-1}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{i-2}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})[/mm]
> = 1
>
> Einsetzen der Randbedingungen:
> [mm]m_{4}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})+m_{3}(\bruch{-1}{\Delta z^{3}})+m_{2}(\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{1}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})+m_{0}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})[/mm]
> = 1
>
> [mm]m_{4}(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})+m_{3}(\bruch{-1}{\Delta z^{3}})+m_{2}(\bruch{\lambda}{\Delta z})+5(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})+3(\bruch{1}{2\Delta z^{3}})[/mm]
> = 1
>
> In Matrix einsetzen:
>
> [mm]\pmat{ (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & 0 & 0\\ (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) &(\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & 0 \\ (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) \\ 0 & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z}) & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z}) \\ 0 & 0 & (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) & (\bruch{-1}{\Delta z^{3}}) & (\bruch{\lambda}{\Delta z})} \pmat{ 3 \\ 5 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}) \\ (\bruch{1}{2\Delta z^{3}}-\bruch{\lambda}{\Delta z})}[/mm]
>
>
> Zum Markieren habe ich jetzt die "3" und [mm]"m_5"[/mm] umkringelt.
Hier bin ich mir leider auch nicht ganz sicher. In Randnähe wird das immer etwas schwierig. Wenn du die Gleichung für i=2 und 3 nimmst ist alles ok. Du brauchst bei 3 Freiheitsgraden (5 Stellen - 2 bekannte Randgrößen) noch eine weitere Gleichung. für i=0, 1, 4 oder 5 bekommst du aber ein [mm] m_{-1} [/mm] oder [mm] m_{6} [/mm] in dein Gleichungssystem, was allerdings gar nicht existiert. Da musst du irgendeine andere Approximation der 3. Ableitung benutzen, denke ich. Aber auf jeden Fall geht ohne eine dritte Gleichung hier nix mehr. Vielleicht hat jemand anders eine Idee.
Jedenfalls wird die 5 und die 3 NIE in einer Gleichung mit deiner Diskretisierung vorkommen. Da ist irgendwas falsch. Schreib doch mal die Gleichungen für i=2 und i=3 aus.
> So das ist mein Lösungsvorschlag. Freue mich über jede
> Art von Rückmeldung/Kritik.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Schönen Gruß
Hoffe ich konnte dir ein kleines bisschen weiterhelfen.
Leider ist die Numerik Rubrik in diesem Forum etwas ausgestorben.
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Bad_Rockk |
Hallo Max,
danke für deine Antwort. Auf die inneren Stützstellen bin ich mittlerweile auch gekommen. Habe das allerdings anderst eingeteilt wie du. Und zwar in 1/6 bis 5/6 das sind dann genau 5 innere Stützstellen.
Die KO bestimmen über die Taylorentwicklung ist bestimmt eine Möglichkeit, aber so haben wir das nicht gemacht. War ne recht schlechte Vorlesung... Habe da jetzt für die dritte Ableitung KO = 2 , da [mm] \Delta z^{2} [/mm] vorkommt. und für das gesamte Schema dürfte es, wie du auch sagtest, KO = 1 sein, da ich [mm] \Delta [/mm] z enthalten habe.
Bei der Matrixschreibweise fliegen dadurch auch die Randbedingungen raus, sprich die 3 und 5 die ich da zuvor hatte.
Gruß Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Di 09.02.2010 | | Autor: | max3000 |
Ach da stand INNERE Stüztstellen?
Ok das hab ich überlesen.
Dann hast du es mit deiner Einteilung vollkommen richtig gemacht.
Grüße
Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 27.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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