Aufgabe zu Supremum/Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 So 24.06.2007 | | Autor: | Pedda |
| Aufgabe | | Man beweise: Sind M und M' zwei nichtleere Mengen reeller Zahlen und gilt x <= x' für beliebige x in M und beliebige x' in M', so folgt sup M <= inf M'. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der oben gestellten Aufgabe. Habe jetzt schon einige Zeit darüber nachgedacht und der Sachverhalt ist ja auch relativ eindeutig. Die Frage ist, wie ich das nun aufschreibe. Bis jetzt habe ich, dass
x <= sup M <= x' und x <= inf M' <= x', da die Aussage oben ja für beliebige x, x' gelten soll. Wie aber forme ich das nun um zur allgemeinen Aussage sup M <= inf M' ? Muss ich nun alle Fälle durchgehen ?
tschö, Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Man beweise: Sind M und M' zwei nichtleere Mengen reeller
> Zahlen und gilt x <= x' für beliebige x in M und beliebige
> x' in M', so folgt sup M <= inf M'.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu der oben gestellten Aufgabe. Habe
> jetzt schon einige Zeit darüber nachgedacht und der
> Sachverhalt ist ja auch relativ eindeutig. Die Frage ist,
> wie ich das nun aufschreibe. Bis jetzt habe ich, dass
>
> x <= sup M <= x' und x <= inf M' <= x', da die Aussage oben
> ja für beliebige x, x' gelten soll.
Ich fühle mich einigermassen unsicher, wie Du hier vorgegangen bist. Ich vermute mal so:
Da jedes [mm]x'\in M'[/mm] nach Voraussetzung, eine obere Schranke für [mm]M[/mm] ist, muss (gemäss Definition von [mm]\sup(M)[/mm] als kleinste obere Schranke von [mm]M[/mm]) auch gelten, dass [mm]\sup(M)\leq x'[/mm].
Da [mm]x'\in M'[/mm] beliebig war, bedeutet dies, dass [mm]\sup(M)[/mm] eine untere Schranke für [mm]M'[/mm] ist. Woraus schliesslich auch noch folgt, dass demnach (gemäss Definition von [mm]\inf(M')[/mm] als grösste untere Schranke von [mm]M'[/mm]) gelten muss: [mm]\sup(M)\leq \inf(M')[/mm]
> Wie aber forme ich das
> nun um zur allgemeinen Aussage sup M <= inf M' ? Muss ich
> nun alle Fälle durchgehen ?
Nö, allenfalls "virtuell"  .. siehe oben.
Die zentrale Schlussweisen sind diese beiden:
1. Wenn man eine obere Schranke von [mm]M[/mm] kennt (ganz gleich welche), dann ist das [mm]\sup(M)[/mm] kleiner oder gleich dieser oberen Schranke.
2. Wenn man eine untere Schranke von [mm]M'[/mm] kennt (ganz gleich welche), dann ist das [mm]\inf(M')[/mm] grösser oder gleich dieser unteren Schranke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
vielen Dank, so habe ich es verstanden. Ich habe jetzt nur noch einmal aus Interesse versucht, das ganze andersrum zu machen, also
inf M' < sup M => nicht x <= x' für beliebige x,x'. Ist das eine korrekte Aussage ?
Sei a = sup M, b = inf M'. Dann habe ich gesagt, dass 0 < [mm] \varepsilon [/mm] ' < (a+b)/2
und [mm] \varepsilon [/mm] > (a+b)/2 > 0. Dann ist laut Definition x' < b + [mm] \varepsilon [/mm] ' und x > a - [mm] \varepsilon.
[/mm]
Daraus folgt laut Definition x > a - [mm] \varepsilon [/mm] > b + [mm] \varepsilon [/mm] ' > x'. Das heißt es gibt x die größer sind als x'.
Wäre damit die Aufgabe auch korrekt beantwortet ?
tschö, Peter
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> vielen Dank, so habe ich es verstanden. Ich habe jetzt nur
> noch einmal aus Interesse versucht, das ganze andersrum zu
> machen, also
>
> inf M' < sup M => nicht x <= x' für beliebige x,x'.
> Ist das eine korrekte Aussage ?
Es ist nicht klar, was Du hier genau behauptest.
Ich sehe folgende Interpretationen:
a) [mm]\inf(M')<\sup(M) \Rightarrow \forall x\in M, x'\in M'(\text{nicht } x\leq x')[/mm]
b) [mm]\inf(M')< \sup(M) \Rightarrow \text{ nicht } \forall x\in M, x'\in M'(x\leq x')[/mm]
Interpetation a) wäre falsch, denn inf(M') und sup(M) sagen ja nichts über individuelle Elemente von M' bzw. M aus: nur über die ganzen Mengen M' bzw. M. So ist etwa, am Beispiel reeller Intervalle vorgeführt, [mm]\inf([-2;2])=-2 < \sup([-1;1]) = 1[/mm], aber es gibt natürlich [mm]x\in [-2;2][/mm] die (sogar) grösser sind als alle Elemente von [mm][-1;1][/mm]
Interpretation b) ist richtig: denn dies ist nichts als die Kontraposition [mm]\text{ nicht } B\Rightarrow \text{ nicht } A[/mm] der Behauptung [mm]A\Rightarrow B[/mm], die Du beweisen solltest.
>
> Sei a = sup M, b = inf M'. Dann habe ich gesagt, dass 0 <
> [mm]\varepsilon[/mm] ' < (a+b)/2
> und [mm]\varepsilon[/mm] > (a+b)/2 > 0. Dann ist laut Definition [mm]x' < b + \varepsilon'[/mm] und [mm]x > a - [mm]\varepsilon[/mm].
Wie dies? Du meinst für alle [mm]x'\in M'[/mm] und [mm]x\in M[/mm]? - Sicher nicht.
Wahr ist, dass es dann wenigstens ein solches [mm]x'\in M'[/mm] bzw. ein [mm]x\in M[/mm] geben muss, das diese Ungleichungen erfüllt. Aber zwischen "für alle" und "es gibt" ist eben ein relativ grosser Unterschied - um es einmal vorsichtig auszudrücken...
> Daraus folgt laut Definition x > a - [mm]\varepsilon[/mm] > b +
> [mm]\varepsilon[/mm] ' > x'. Das heißt es gibt x die größer sind als x'.
Ok, hier sprichst Du genauer aus, dass Du bloss davon ausgehen kannst, dass es [mm]x\in M,x'\in M'[/mm] gibt, die die obigen Ungleichungen erfüllen.
> Wäre damit die Aufgabe auch korrekt beantwortet ?
Wenn Du einen indirekten Beweis führen willst, dann schreibe dies bitte gleich zu Beginn: dass Du die Annahme, dass die Behauptung nicht gelte, auf einen Widerspruch (zu den Voraussetzungen) führen willst. Und sei es nur in der Kurzform: "Indirekter Beweis: blah, blah, blah, ... Widerspruch!".
Dann tappt der Leser nicht unnötig lange im Dunkeln, was das ganze Manövrieren eigentlich soll. Als indirekten Beweis könnte man dies, wenn es denn wirklich klar und geradlinig ausformuliert wäre, möglicherweise tatsächlich gelten lassen.
Aber es ist relativ hässlich, solche (wie Du gesehen hast) absolut unnötigen [mm]\varepsilon[/mm]-Spielchen und noch dazu einen indirekten (statt direkten) Beweis zu verwenden. Als eine (von mehreren) Faustregeln der mathematischen Eleganz beim Beweisen gilt, meiner Meinung nach: möglichst direkte Beweise und möglichst keine [mm]\varepsilon, \delta[/mm]-Spielchen. (Natürlich lassen sich diese beiden "Übel" nicht immer vermeiden.)
|
|
|
|
