Aufgabe zum el.stat.Feld < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Kugel mit dem Radius [mm] r_1 [/mm] ist die el. Verschiebungsflussdichte im Bereich [mm] r_0 \le [/mm] r [mm] \le r_1 [/mm] konstant D(r) = [mm] D_0 [/mm] und Null für r [mm] \le r_0. [/mm] Für [mm] \epsilon [/mm] im Bereich r [mm] \le r_1 [/mm] gilt [mm] \epsilon(r) [/mm] = [mm] \epsilon_0(1+\bruch{10*r}{m}), [/mm] sonst [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \epsilon_0 [/mm] und [mm] \eta(r) [/mm] = 0 für r [mm] \ge r_1.
[/mm]
a) Geben Sie E(r) allgemein und der Wert an [mm] r_1 [/mm] an!
b) Geben Sie Q(r) im Bereich [mm] r_0 \le [/mm] r [mm] \le r_1 [/mm] an, wenn bei [mm] r_0 [/mm] eine Flächenladungsdichte [mm] \sigma [/mm] = [mm] D_0 [/mm] vorliegt!
c) Welche Geschwindigkeit hat ein Elektron bei r=0, wenn es mit einer Anfangsgeschwindigkeit v=0 aus dem Unendlichen in das Zentrum stürzt? |
Hallo,
obige Aufgabe bereitet mir ein wenig Kopfzerbrechen und ich hoffe mir kann jemand helfen.
Meine bisherige Rechnung:
a)
E(r) = [mm] \bruch{Q}{4\pi*\epsilon(r)*r^2} [/mm] = [mm] \bruch{D}{\epsilon} [/mm] = [mm] \bruch{D}{\epsilon_0(1+\bruch{10*r}{m})}
[/mm]
E_r1 = [mm] \bruch{1µAs/m^2}{8,8542*10^{-12}Vm/As*11} [/mm] = 10,27KV/m
b)
Q(r) = [mm] \sigma*A [/mm] = [mm] D_0 *4\pi [/mm] * [mm] r^2
[/mm]
c)
???
Hier stehe ich absolut auf dem Schlauch.
Wenn ich das Coulombsche Gesetz benutzen will, um erstmal die Kraft zu berechnet und darüber auf die Geschw. zu schließen, stehe ich mir irgendwie selbst im Weg.
F = [mm] \bruch{Q*e}{4\pi*\epsilon_0*d^2} [/mm] = [mm] \bruch{D_0*4\pi*r^2*e}{4\pi*\epsilon_0*d^2} [/mm] = [mm] \bruch{D_0*r^2*e}{\epsilon_0*d^2}
[/mm]
d ist der Abstand der Ladungen, aber was mache ich mit r? D(r) ist außerhalb von [mm] r_1 [/mm] auch nicht definiert...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 26.02.2016 | | Autor: | isi1 |
In Deiner Aufgabenstellung stehen nicht die Zahlenwerte für Do und r1. Aber gut, nehmen wir an, Du hast die nur vergessen zu erwähnen, dann ist die Feldstärke D/epsilon - das ist klar. Nur Deine Dimension mit KV/m = Kelvin Volt pro Meter ist wahrscheinlich anders gemeint.
Mit Q(r1) = D(r1) * 4 r1² pi kannst Du das Außenfeld berechnen und das Potential bei r1
Um das Potential bei r=0 zu ermitteln, hast ja E(r) und damit kannst per Integration die Potentialdifferenz von r1 bis r=0 errechnen.
Zusammen mit dem Potential bei r1 weißt Du nun das Potential phi0 bei r=0.
Jetzt hast die Energie eines Elektrons bei r=0 mit phi0 in eV (Elektronenvolt), woraus Du simpel dessen Geschwindigkeit bekommst.
Reicht Dir das - wenn nicht, bitte weiter fragen.
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Die Werte habe ich vergessen anzugeben, dass stimmt.
[mm] D_0 [/mm] = [mm] 1\mu As/m^2
[/mm]
[mm] r_0 [/mm] = 0,5m
[mm] r_1 [/mm] = 1m
Und Kelvin sollte natürlich ein kleines k für kilo sein, aber ich gehe davon aus, du hast dir das denken können.
Das Außenfeld habe ich ja schon mit E(r1). Auf das Potential komme ich aber bei bestem Willen nicht. Gegenüber welchem Punkt soll ich denn ein Potential von r1 und r=0 berechnen können?
Und was soll ich mit der Raumladungsdichte anfangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 26.02.2016 | | Autor: | isi1 |
>> Das Außenfeld habe ich ja schon mit E(r1).
>> Auf das Potential komme ich aber bei bestem Willen nicht.
Auch Q(r) hast Du doch?
Dann ist doch das Potential [mm] \varphi (r_1) [/mm] = [mm] \frac{Q(r_1)}{4\ \pi\ \epsilon_0\ r_1}
[/mm]
>> Gegenüber welchem Punkt soll ich denn ein Potential von r1 und r=0 berechnen können?
Steht doch da, gegenüber dem unendlich weit entfernten Punkt. Da haben wir bei r1 das Potential [mm] \varphi (r_1) [/mm] = [mm] \frac{Q(r_1)}{4\ \pi\ \epsilon_0\ r_1}. [/mm] Ab da musst noch die Potentialdifferenz von r1 bis r0 aufintegrieren. (Integration der el. Feldstärke E(r) von r1 bis r0 ...
ich hatte r0=0 angenommen, was Du aber inzwischen richtig gestellt hast.) Schaffst Du das?
>> Und was soll ich mit der Raumladungsdichte anfangen?
Die brauchen wir m.E. nicht berechnen, nur wissen müssen wir, dass außerhalb von r1 keine Ladung mehr ist.
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Das [mm] \mu [/mm] von der Tastatur erkennt das Forum nicht sorry. Habe das mittlerweile korrigiert.
Dein [mm] \varphi_{r_1}=\frac{Q(r_1)}{4\ \pi\ \epsilon_0\ r_1}
[/mm]
sollte doch eigentlich so aussehen oder?
[mm] \varphi_{r_1}=\frac{Q(r_1)}{4\ \pi\ \epsilon_0(1+\bruch{10*r_1}{m})\ r_1}=10267V
[/mm]
Die Potentialdifferenz wäre dann das Integral:
[mm] U_{10}=\integral_{r_1}^{r_0}{\bruch{Q(r)}{4*\pi*\epsilon(r)*r^2}} [/mm] = [mm] \integral_{r_1}^{r_0}{\bruch{D_0*4*\pi*r^2}{4*\pi*\epsilon_0(1+\bruch{10*r}{m})*r^2}} [/mm] = [mm] \integral_{r_1}^{r_0}{\bruch{D_0}{\epsilon_0(1+\bruch{10*r}{m})}} [/mm] = [mm] \bruch{D_0}{10*\epsilon_0}*ln(1+\bruch{10*r_0}{m})-\bruch{D_0}{10*\epsilon_0}*ln(1+\bruch{10*r_1}{m}) [/mm] = 6845,7V
[mm] \varphi_{r_0}=\varphi_{r_1}-U_{10}=3421,3V
[/mm]
Sprich ich hätte eine Energie von 3421,3eV = [mm] 5,481*10^{-16}J
[/mm]
Durch [mm] \bruch{1}{2}*m*v^2 [/mm] und der elektronenmasse von [mm] 9,11*10^{-32}kg [/mm] komme ich auf eine Geschwindigkeit von [mm] 1,1*10^{8}m/s
[/mm]
Ist das korrekt?
Wenn jetzt aber die Energie, die zwischen [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_0 [/mm] zugeführt wird, die einzige ist, die das Elektron beschleunigt, wie kommt es dann überhaupt mit einer Anfangsgeschw. von 0m/s aus dem Unendlichen dort hin...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 28.02.2016 | | Autor: | GvC |
Da bist Du ein bisschen mit den Vorzeichen durcheinander gekommen. Die Feldstärke ist doch von r0 bis r1 radial nach außen gerichtet und auch ab r1 bis unendlich radial nach außen gerichtet. Deshalb musst Du die Spannung zwischen r0 und r1 zum Potential von r1 addieren und nicht davon subtrahieren. Außerdem hast Du die Elektronenmasse um eine Zehnerpotenz zu gering angesetzt und bekommst deshalb eine viel zu hohe Geschwindigkeit heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 28.02.2016 | | Autor: | Fl4shM4k3r |
Ah ja.
Normal dreht sich im Integral durch [mm] r^2 [/mm] im Nenner das Vorzeichen und man integriert vom größeren zum kleineren Potential. Hier fällt das [mm] r^2 [/mm] raus, weshalb ich die beiden Potentiale falsch zugeordnet habe.
So muss das natürlich eine Addition sein:
[mm] \varphi_{r_0}=\varphi_{r_1}+U_{10}=17112,7V
[/mm]
17112,7eV = [mm] 2,74*10^{-15}J
[/mm]
[mm] v=7,76*10^{7}m/s
[/mm]
Ich danke euch vielmals!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Fr 26.02.2016 | | Autor: | GvC |
@Fl4shM4k3r
Bist Du sicher, dass Deine Angaben für die Verschiebungsdichte und die Radien richtig sind? Falls ja, ergibt sich an r1 eine Feldstärke, die um den Faktor [mm] 10^6 [/mm] größer ist als die von Dir berechnete. Das wäre aber so vollkommen unrealistisch, dass ich Deine Angaben einfach nicht glauben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Sa 27.02.2016 | | Autor: | GvC |
Aha, mittlerweile hast Du die Angaben korrigiert. Dennoch solltest Du überprüfen, ob man bei der Ermittlung der Geschwindigkeit eventuell relativistisch rechnen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 So 28.02.2016 | | Autor: | Fl4shM4k3r |
Da ich mir nicht vorstellen kann, dass wir das in der Klausur hätten rechnen sollen wie oben, frage ich mal nach was du mit relativistisch rechnen meinst und wie das dann aussehen soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 So 28.02.2016 | | Autor: | GvC |
Ich hatte mich beim Potential an r1 um eine Zehnerpotenz verrechnet. Sorry. Deshalb ergab sich bei mir die erfragte Geschwindigkeit zu mehr als der halben Lichtgeschwindigkeit. Da muss man dann relativistisch rechnen. Tatsächlich ist die Geschwindigkeit hier "nur" bei etwa 20% der Lichtgeschwindigkeit (sofern ich mich nicht schon wieder verrechnet habe). Ob man das relativistisch rechnen muss oder nicht, hängt von dem Fehler ab, den man noch akzeptieren will, wenn man nicht-relativistisch rechnet.
Zur relativistischen Rechnung siehe hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kinetische_Energie#Kinetische_Energie_in_der_relativistischen_Mechanik
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