Aufgabe zur Poisson-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 09.05.2010 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X sei Poisson-verteilt mit Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie das dritte Moment zu X.
(b) Zeigen Sie, dass für alle [mm] \theta \in \IR [/mm] der Erwartungswert zu [mm] Y:=e^{\theta X} [/mm] existiert, und bestimmen Sie diesen.
(c) Berechnen Sie für den Ausdruck aus (b) die dritte Ableitung nach [mm] \theta [/mm] an der Stelle 0 und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis aus Teil (a). |
Hallo,
also oben ist meine Aufgabe, welche ich nicht so ganz hinbekomme. Also zu meinen Lösungsansätzen:
Zu a):
In unserem Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
" Das k-te Moment einer Zufallsvariablen X ist [mm] EX^k, [/mm] vorausgesetzt, es gilt [mm] \summe_{x}^{}|x|^k [/mm] P(X=x) < [mm] \infty [/mm] (sonst sagen wir, dass das k-te Moment von X nicht existiert)."
Wenn wir das dritte Moment hier bestimmen sollen, kann ich dann einfach sagen, dass es E((X-E(X))³) lautet? Reicht das, oder muss noch etwas genauer gezeigt werden?
Zu b):
Hier muss ich ja den Erwartungswert berechnen. Ganz sicher bin ich mir nicht, aber der existiert ja, wenn die Reihe konvergiert, bzw. < [mm] \infty [/mm] ist, oder?
Muss ich hier so ansetzen: Erwartungswert: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k*e^{\theta X} [/mm] ?
Zu c):
Hier habe ich mal die dritte Ableitung berechnet und bin auf folgendes gestoßen: [mm] X^3*e^{\theta X} [/mm] lautet sie bei mir.
Nun ist sie an der Stelle Null ja: [mm] X^3
[/mm]
Wie ich dieses Ergebnis aber in Bezug zu (a) setzen soll, ist mir noch ein Rätsel.
So, das war es erstmal, hoffe mir kann jemand helfen!
Grüße,
Hanz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Die Zufallsvariable X sei Poisson-verteilt mit Parameter
> [mm]\lambda.[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie das dritte Moment zu X.
>
> (b) Zeigen Sie, dass für alle [mm]\theta \in \IR[/mm] der
> Erwartungswert zu [mm]Y:=e^{\theta X}[/mm] existiert, und bestimmen
> Sie diesen.
>
> (c) Berechnen Sie für den Ausdruck aus (b) die dritte
> Ableitung nach [mm]\theta[/mm] an der Stelle 0 und vergleichen Sie
> diese mit dem Ergebnis aus Teil (a).
> Hallo,
> Zu a):
>
> In unserem Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
> " Das k-te Moment einer Zufallsvariablen X ist [mm]EX^k,[/mm]
> vorausgesetzt, es gilt [mm]\summe_{x}^{}|x|^k[/mm] P(X=x) < [mm]\infty[/mm]
> (sonst sagen wir, dass das k-te Moment von X nicht
> existiert)."
>
> Wenn wir das dritte Moment hier bestimmen sollen, kann ich
> dann einfach sagen, dass es E((X-E(X))³) lautet? Reicht
> das, oder muss noch etwas genauer gezeigt werden?
Erstens verstehe ich nicht, wie du von [mm] E(X^{3}) [/mm] plötzlich auf den von dir angegebenen Term kommst; zweitens reicht die Angabe dieses Terms natürlich nicht. Du sollst den Term wirklich ausrechnen, du kennst doch die Verteilung von X.
> Zu b):
>
> Hier muss ich ja den Erwartungswert berechnen. Ganz sicher
> bin ich mir nicht, aber der existiert ja, wenn die Reihe
> konvergiert, bzw. < [mm]\infty[/mm] ist, oder?
> Muss ich hier so ansetzen: Erwartungswert:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k*e^{\theta X}[/mm] ?
Nein.
Es wurde mittels X eine neue Zufallsvariable konstruiert, diese lautet $Y := [mm] exp(\theta*X)$. [/mm] Der Erwartungswert von X wurde berechnet durch (X kann die Werte 0,1,2,3,4,... annehmen!):
$E(X) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k*p_{X}(k)$,
[/mm]
wobei [mm] p_{X}(k) [/mm] die Zähldichte von X, also der Poisson-Verteilung, ist.
Es gilt die Transformationsformel:
$E(Y) = E(g(X)) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}g(k)*p_{X}(k)$,
[/mm]
diese solltest du nun hier anwenden (Y = g(X) = [mm] exp(\theta*X)).
[/mm]
> Zu c):
>
> Hier habe ich mal die dritte Ableitung berechnet und bin
> auf folgendes gestoßen: [mm]X^3*e^{\theta X}[/mm] lautet sie bei
> mir.
Das ist richtig - vermutlich ist in der Aufgabenstellung aber nicht der "Ausdruck" $Y = [mm] e^{\theta X}$ [/mm] gemeint, sondern das, was du dann als Erwartungswert E(Y) = E(g(X)) ausgerechnet hast.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 09.05.2010 | | Autor: | Hanz |
> > Zu a):
> >
> > In unserem Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
> > " Das k-te Moment einer Zufallsvariablen X ist [mm]EX^k,[/mm]
> > vorausgesetzt, es gilt [mm]\summe_{x}^{}|x|^k[/mm] P(X=x) < [mm]\infty[/mm]
> > (sonst sagen wir, dass das k-te Moment von X nicht
> > existiert)."
> >
> > Wenn wir das dritte Moment hier bestimmen sollen, kann ich
> > dann einfach sagen, dass es E((X-E(X))³) lautet? Reicht
> > das, oder muss noch etwas genauer gezeigt werden?
>
> Erstens verstehe ich nicht, wie du von [mm]E(X^{3})[/mm] plötzlich
> auf den von dir angegebenen Term kommst; zweitens reicht
> die Angabe dieses Terms natürlich nicht. Du sollst den
> Term wirklich ausrechnen, du kennst doch die Verteilung von
> X.
Ich hätte hierzu noch eine Frage. In unserem Skript steht:
"Existiert das zweite Moment zu X, so nennen wir var(X):=E(X-EX)² die Varianz."
So, demnach müsste ja das, was ich oben geschrieben hatte das dritte Moment darstellen.
Nun weiss ich aber wirklich nicht genau, wie ich es herleiten soll. Was meinst du mit der Verteilung? Ist das bei der Poisson-Verteilung [mm] \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} [/mm] ?
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Hallo,
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> > > Zu a):
> > >
> > > In unserem Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
> > > " Das k-te Moment einer Zufallsvariablen X ist [mm]EX^k,[/mm]
> > > vorausgesetzt, es gilt [mm]\summe_{x}^{}|x|^k[/mm] P(X=x) < [mm]\infty[/mm]
> > > (sonst sagen wir, dass das k-te Moment von X nicht
> > > existiert)."
> > >
> > > Wenn wir das dritte Moment hier bestimmen sollen, kann ich
> > > dann einfach sagen, dass es E((X-E(X))³) lautet? Reicht
> > > das, oder muss noch etwas genauer gezeigt werden?
> >
> > Erstens verstehe ich nicht, wie du von [mm]E(X^{3})[/mm] plötzlich
> > auf den von dir angegebenen Term kommst; zweitens reicht
> > die Angabe dieses Terms natürlich nicht. Du sollst den
> > Term wirklich ausrechnen, du kennst doch die Verteilung von
> > X.
>
>
> Ich hätte hierzu noch eine Frage. In unserem Skript
> steht:
> "Existiert das zweite Moment zu X, so nennen wir
> var(X):=E(X-EX)² die Varianz."
Genau. Nur habt ihr doch in eurem Skript definiert, dass [mm] E(X^{2}) [/mm] das zweite Moment ist.
Du benötigst eben nur für die Definition der Varianz, dass [mm] $E(X^{2}) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist (weil sonst die Varianz [mm] \infty [/mm] ist und das ist nicht wohldefiniert).
Das ist also so ähnlich wie: Ist das Quadrat von x gleich 4, so definieren wir das zweite Quadrat von x als [mm] 2*x^{2}.
[/mm]
Deswegen ist das Quadrat von x noch lange nicht [mm] 2*x^{2} [/mm] !
> So, demnach müsste ja das, was ich oben geschrieben hatte
> das dritte Moment darstellen.
> Nun weiss ich aber wirklich nicht genau, wie ich es
> herleiten soll. Was meinst du mit der Verteilung? Ist das
> bei der Poisson-Verteilung [mm]\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/mm]
> ?
Genau. Du weißt also, dass [mm] $p_{X}(k) [/mm] = [mm] \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ [/mm] ist.
Die Formel für das dritte Moment lautet (siehe auch die Transformationsformel, die ich dir oben geschrieben habe!):
[mm] $E(X^{3}) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k^{3}*p_{X}(k) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k^{3}*\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$.
[/mm]
Das gilt es nun auszurechnen!
Hinweis: Du wirst folgenden "Trick" benutzen müssen:
[mm] $k^{3} [/mm] = k*(k-1)*(k-2) + 3*k*(k-1) + k$
Danach Indexverschiebung!
Grüße,
Stefan
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