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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 28.07.2007 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] f(x)=x*e^{-\wurzel{x}}
[/mm]
(i) Wo ist f differenzierbar? Geben Sie die maximale Menge M an, auf der f differenzierbar ist.
(ii) Bestimmen Sie alle Nullstellen der ersten Ableitung. |
| Aufgabe 2 | | Es sei f(x) = [mm] x^{3}+6x^{2}+7. [/mm] Untersuchen Sie,wo f konvex ist. |
| Aufgabe 3 | | Es sei ein Quader gegeben. Die Summe der Längen aller Kanten des Quaders betrage 48 cm.Die Seiten der Grundfläche seien durch a und b gegeben. Die Höhe des Quaders sei h=a+b. Welches ist das maximale Volumen des Quaders? |
| Aufgabe 4 | Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von L'Hospital die folgenden Grenzwerte:
(i) lim(x->1) [mm] \bruch{1-x^{2}}{sin(\pi*x)}
[/mm]
(ii) lim(x->0) [mm] (1+sin(x))^{\bruch{1}{sin(x)}} [/mm] |
| Aufgabe 5 | Berechnen Sie den Wert des Integrals:
(i) [mm] \integral_{1}^{3}{x^{3}*log(3x)dx}
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x^{3}}{x^{8}+1}dx} [/mm] |
| Aufgabe 6 | Wahr oder falsch?
(i) Ist f:[a,b] -> [c,d] nicht differenzierbar in [mm] x0\in(a,b) [/mm] und [mm] g:[c,d]->\IR [/mm] differenzierbar in f(x0), so ist g [mm] \circ [/mm] f nicht differenzierbar in x0.
(ii) Zu jedem f [mm] \in [/mm] C0([a,b]) gibt es ein F [mm] \in [/mm] C1([a,b]) mit F'(x) = f(x) für alle x [mm] \in [/mm] (a,b).
(iii) Es sei f [mm] \in [/mm] C0([a,b]). Dann gilt: [mm] -\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
(iv) Für f [mm] \in [/mm] C0([0,1]) gilt: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0 => f(x) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
(v) Ist g:(a,b) -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar und sowohl konkav als auch konvex auf (a,b), dann ist g linear. |
| Aufgabe 7 | (i) Geben Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 an der Stelle 0 für die Funktion g(x) = log [mm] (\wurzel{x+1}) [/mm] an.
(ii) Benutzen Sie (i), um den Grenzwert limx->0 [mm] \bruch{log(\wurzel{x+1}}{x} [/mm] zu berechnen. |
| Aufgabe 8 | Berechnen Sie den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x+x\wurzel{x}}dx} [/mm] |
Ich würde gerne wissen ob meine Lösungen korrekt sind, da ich leider keinen Musterlösungsbogen habe.
zu Aufg1:
(i) f ist diffbar auf ganz R ohne 0 und dort auch als Verkettung differenzierbarer Funktionen:
Für x=0 findet man mit Hilfe des Differenzenquotienten heraus, dass die Funktion an der Stelle 0 gegen 1 geht, also dort nicht differenzierbar ist.
(ii) x = 4 ist die Nullstelle
zu Aufg2:
Die Funktion ist konvex auf [mm] [-2,\infty)
[/mm]
zu Aufg3:
Das maximale Volumen des Quaders beträgt [mm] 54cm^{3}
[/mm]
zu Aufg4:
(i) Der Grenzwert lautet [mm] \bruch{2}{\pi}.
[/mm]
(ii) Der Grenzwert lautet 1.
zu Aufg5:
(i) Der Wert des Integrals beträgt [mm] \bruch{161}{4}log(3)-5
[/mm]
(ii) Der Wert des Integrals beträgt [mm] \bruch{1}{4}arctan16
[/mm]
zu Aufg6:
(i) falsch
(ii) wahr
(iii) falsch (?)
(iv) wahr (?)
(v) wahr
zu Aufg7:
(i) Das Taylor Polynom lautet: [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x²
[/mm]
(ii) Der Grenzwert lautet [mm] -\bruch{1}{4}.
[/mm]
zu Aufg8:
lim (c geht von unten gegen unendlich) 2 [mm] ln|\wurzel{c}| [/mm] -> unendlich, also Divergenz des Integrals
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Derartig viele Aufgaben sind doch etwas unübersichtlich in einem Thread!
Aufgabe 4 (i) hast Du richtig gelöst.
Bei Aufgabe 4 (ii) stimmt der Wert $1_$ nicht ganz. Da muss der Grenzwert lauten [mm] $e^{\red{1}} [/mm] \ = \ e$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Das extremale Volumen ist richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Beide Integrale sind richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
> Die Funktion ist konvex auf [mm][-2,\infty)[/mm]
Gruß
Loddar
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> Berechnen Sie den Wert des folgenden uneigentlichen
> Integrals:
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x+x\wurzel{x}}dx}[/mm]
>zu Aufg8:
> lim (c geht von unten gegen unendlich) [mm] $2\ln|\sqrt{c}|$ [/mm] -> unendlich, >also Divergenz des Integrals
Nein, dieses Integral konvergiert, denn schon das Integral [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}}\; [/mm] dx$ konvergiert und es ist ja [mm] $0\leq \frac{1}{x+x\sqrt{x}}< \frac{1}{x^{3/2}}$ [/mm] für $x>1$.
Du wirst also kaum darum herum kommen, den Limes [mm] $\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_1^b \frac{1}{x+x\sqrt{x}}\; [/mm] dx$ zu berechnen.
Den Wert des Integrals bis $b$ kannst Du mittels Substitution $u := [mm] \sqrt{x}$ [/mm] bestimmen, denn es ist ja
[mm]\int \frac{1}{x+x\sqrt{x}}\;dx = 2\cdot \int \frac{1}{\sqrt{x}+x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\; dx = 2\cdot \int \frac{1}{u+u^2}\; du = 2\cdot\int \Big(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\Big)\; du[/mm]
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> Wahr oder falsch?
> (i) Ist f:[a,b] -> [c,d] nicht differenzierbar in
> [mm]x0\in(a,b)[/mm] und [mm]g:[c,d]->\IR[/mm] differenzierbar in f(x0), so
> ist g [mm]\circ[/mm] f nicht differenzierbar in x0.
> (ii) Zu jedem f [mm]\in[/mm] C0([a,b]) gibt es ein F [mm]\in[/mm] C1([a,b])
> mit F'(x) = f(x) für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
> (iii) Es sei f [mm]\in[/mm] C0([a,b]). Dann gilt:
> [mm]-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>
> (iv) Für f [mm]\in[/mm] C0([0,1]) gilt: [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] =
> 0 => f(x) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] [0,1]
> (v) Ist g:(a,b) -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar und sowohl konkav
> als auch konvex auf (a,b), dann ist g linear.
>
>
> zu Aufg6:
> (i) falsch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") denn man könnte z.B. für $g$ eine konstante Funktion wählen: dann wäre [mm] $g\circ [/mm] f$ sicher diff'bar, ganz gleich wie wild sich $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] verhält.
> (ii) wahr
Bekannter Satz.
> (iii) falsch (?)
[mm] $-\int_a^b f(x)\; dx=\int_a^b f(x)\; [/mm] dx$ bedeutet, dass [mm] $\int_a^b f(x)\; [/mm] dx=0$ ist. Dies kann, muss aber für ein stetiges $f$ auf $[a,b]$ nicht gelten.
> (iv) wahr (?)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nimm etwa $f(x)=x-0.5$. Aber aus [mm] $\int_0^1 \red{|}f(x)\red{|}\; [/mm] dx=0$ würde für stetiges $f$ in der Tat folgen, dass $f(x)=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] [0;1]$.
> (v) wahr
weil unter dieser Bedingung die zweite Ableitung von $g$ identisch verschwindet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Was stört Dich beim Differenzenquotienten an dem Grenzwert $1_$ für [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] ?
Von daher würde ich behaupten, dass die Funktion im gesamten Definitionsbereich [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR^+_0$ [/mm] auch differenzierbar ist.
Die Nullstelle der 1. Ableitung ist richtig.
Gruß
Loddar
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