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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Sa 28.07.2007 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe 1 | (i) Berechnen Sie das unbestimmte Integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{4x}{x²-1}dx}
[/mm]
(ii) Bringen Sie das Ergebnis aus (i) mit Hilfe der Rechengesetze für den Logarithmus auf die Form log((x²-1)²) + C, C [mm] \in \IR
[/mm]
(iii) Zeigen Sie mittels Separation der Variablen, dass das Anfangswertproblem (x²-1)y' = 4x(y+1), y(0) = 0, die Lösung y(x)=(x²-1)²-1 besitzt.
(iv) Wo ist die (in (iii) angegebene) Lösung y(x) definiert, stetig und differenzierbar?
(v) Berechnen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
(vi) Auf welchen Intervallen ist die Funktion monoton steigend? Auf welchen ist sie konvex?
(viii) Zeigen Sie, das die auf [mm] \RI² [/mm] definierte Funktion f(x,z):= y(x)-z² im Punkt (0,1) einen Sattelpunkt besitzt. |
| Aufgabe 2 | (i) Zeigen Sie, dass es nur zwei reelle Werte gibt, die als Grenzwert der durch a(n+1):=g(a(n)) (n [mm] \in \IN) [/mm] rekursiv definierte Folge infrage kommen.
Wie lauten diese?
(ii) Bestimmen Sie alle Werte x [mm] \IR, [/mm] für die die Reihe [mm] \summe_{n \in \IN} g(x)^{n} [/mm] konvergiert. |
Bräuchte Rückmeldung, ob Ergebnisse korrekt sind.
zu Aufg1:
(i) zunächst 4 rausgezogen, dann durch Partialbruchzerlegung folgende Formel rausbekommen: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{(x-1)} + \bruch{2}{(x+1)}}
[/mm]
danach aufgelöst: 2[ln|x-1| - ln|x+1|]+C
(ii) hier hatte ich ein wenig Probleme...vllt so in etwa?(oder auch nicht :))
2 [mm] \bruch{ln|x-1|}{ln|x+1|} [/mm] + C =
[mm] \bruch{log(x-1)²}{log(x+1)}+C [/mm] =
log(x-1)² - log(x+1) + C=
log((x²-1)²) + C
(iii) y' = [mm] \bruch{dy}{dx}
[/mm]
(x²-1)dy = 4x(y+1)dx
[mm] \integral_{0}^{y}{\bruch{1}{y+1}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{4x}{x²-1}}
[/mm]
Dann die rechte Seite substituiert mit v=x²-1...
[ln|y+1|] (von 0 bis y) = 2 [ln|v|] (von -1 bis x²-1)
ln|y+1| = 2 (ln|x²-1| - ln |-1| )
ln |y+1| = 2 ln |x²-1|
...und ab da weiß ich nicht weiter??
(iv) definiert, stetig und diffbar auf ganz [mm] \IR
[/mm]
(v) Nullstellen sind 0, [mm] \wurzel{2}, -\wurzel{2}
[/mm]
Extremstellen sind: lokales Maximum (0|0)
lokales Minumum (1|-1) und (-1|-1)
Wendepunkte sind: WP [mm] (\wurzel{\bruch{1}{3}}| [/mm] - [mm] \bruch{5}{9}) [/mm] und
[mm] (-\wurzel{\bruch{1}{3}}|-\bruch{5}{9})
[/mm]
(vi) monoton steigend auf [-1, [mm] \infty)
[/mm]
konvex auf: [mm] (-\infty, -\wurzel{\bruch{1}{3}}] [/mm] und [mm] [\wurzel{\bruch{1}{3}}, \infty)
[/mm]
(viii) ??
Aufg2
(i) Fixpunkte der Rekursionsgleichung sind 2 und -1.
(ii) Für alle n>1 Divergenz, da g(x) gegen unendlich strebt
Für n = 1 Divergenz, da const.=1
Für n = 0 ebenfalls
Für n = -1 Divergenz
Für n<-1 haben wir Konvergenz, die Reihe strebt gegen 0
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Hallo nochmal,
zu (iii)
mach die Integration auf beiden Seiten doch mal ohne Grenzen.
Die Stammfkt zu [mm] \int{\frac{4x}{x^2-1}dx} [/mm] haben wir aus (i).
Das war [mm] \ln\left((x^2-1)^2\right)+C_0
[/mm]
Dann noch die linke Seite [mm] \ln(y+1)+C_1 [/mm] , das ist richtig
Also hast du [mm] \ln(y+1)=\ln\left((x^2-1)^2\right)+C [/mm] mit [mm] C=C_0-C_1
[/mm]
Da mal feste mit der e-Funktion draufhauen und nach y auflösen...
und dann das C mit der gegebenen Anfangsbedingung berechnen...
Gruß
schachuzipus
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So hallo nochmal,
zu(vi):
Die Konvexitätsintervalle stimmen ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bei der Monotonie ist aber was im Argen.
Die Untersuchung auf monoton. Wachstum läuft ja darauf hinaus, zu schauen, wann [mm] y'(x)\ge [/mm] 0 ist
Es ist ja [mm] y'(x)=4x(x^2-1)
[/mm]
Also [mm] $y'(x)\ge [/mm] 0 [mm] \gdw \left(4x\ge 0\wedge x^2-1\ge 0\right)\vee\left(4x<0\wedge x^2-1<0\right)$
[/mm]
[mm] \gdw....
[/mm]
zu(viii):
du musst die Hessematrix im Punkt (x,z)=(0,1) aufstellen. Berechne dazu die partiellen Ableitungen [mm] f_{xx}(x,z), f_{zz}(x,z), f_{xz}(x,z) [/mm] und [mm] f_{zx}(x,z)
[/mm]
Eine Frage zu Aufg. 2:
Ist das g, das da in der Rekursionsdefinition auftaucht, irgendwie näher spezifiziert?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Sa 28.07.2007 | | Autor: | diecky |
Ja natürlich, hab ich total vergessen *g*.
g(x):= [mm] \bruch{2}{x+1}
[/mm]
Schonmal vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Hat sich da bei Dir ein Tippfehler eingeschlichen? Ich erhalte als mögliche Grenzwerte [mm] $\red{-} [/mm] \ 2$ und [mm] $\red{+} [/mm] \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Wie bzw. was hast Du denn hier gerechnet?
In Anlehnung an die geometrische Reihe erhalte ich Konvergenz für [mm] $\left|g(x)\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{2}{1+x}\right| [/mm] \ < \ 1$ .
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
