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Also, ich habe einige aufgaben zu komplexen Zahlen, habe aber noch einige probleme oder weiß nicht, ob ich das richtig gelöst habe.
1. Die Komplexen Zahlen {1, 2+i, z} bilden in der Gauss - Ebene ein gleichseitiges Dreieck. Bestimmen sie [mm] $z\in\IC$.
[/mm]
Mein Lösungsweg (mit nem fehler, weil das ergebnis nicht hinhaut...)
1 := (1,0)
2+i := (2,1)
z := (a,b)
Länge s aller Seiten des gleichseitigen Dreiecks:
s = [mm] \wurzel{(2-1)^2 + (1-0)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{(a-2)^2 + (b-1)^2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] a^2 [/mm] -4a + [mm] b^2 [/mm] - 2b + 3
und 0 = [mm] a^2 [/mm] - 2a + [mm] b^2 [/mm] - 1
nach Gleichsetzung dieser beiden Formeln komme ich auf
b = -a+2
so, und wenn ich das dann in die erste oder 2. gleichung einsetze, komme ich daruaf, dass
0 = [mm] a^2 [/mm] - 3a + 1,5
und dann
a1 = 1,5 + [mm] \wurzel{1,75}
[/mm]
a2 = 1,5 - [mm] \wurzel{1,75}
[/mm]
aber wenn ich damit b1 und b2 berechne und das in die gleichung für die länge einer strecke einsetze, komme ich nicht auf wurzel 2....
sieht jemand meinen fehler? ich hab schon oft gesucht aber ich find ihn nicht...
2. Skizzieren Sie die Punktmengen B = [mm] {z\in\IC : 1 < \vmat{ z+1-i } < 3} [/mm] und C = [mm] {z\in\IC : \vmat{ z-(1+i) } = \vmat{ z+2+i } } [/mm]
Also zu B:
Also ich weiß, dass z - i einen Kreis um den Mittelpunkt i=1 bildet, mit dem Radius r. Jezt habe ich einen Kreis um den Mittelpunkt i mit Radius zwischen 1 und 3. Und dieser wird um 1 nach links verschoben, da der Realteil aller dieser z - 1 gerechnet wird.
Ist das Richtig oder habe ich einen denkfehler?
und zu C :
Das habe ich versucht, auszurechnen:
1. Fall: beide Terme sind positiv oder beide negativ :
komme zu keiner lösung (Also mit terme positiv bzw. negativ meine ich, dass das in den Betragsstrichen beides größer oder beides kleiner 0 ist)
2. Fall: ein term negativ und der andere positiv:
komme auf einen punkt (-0,5 , 0)
3. Fall: es müssten beide 0 sein (noch nicht ausgerechnet)
4. Fall: term 1 null und der andere positiv oder negativ (noch nicht ausgerechnet)
5. fall: term 2 null und der andere positiv oder negativ (noch nicht ausgerechnet)
sind die fälle soweit richtig aufgestellt und die ersten 2 richtig berechnet?
3. Welche [mm] w\in\IC [/mm] erfüllen die Gleichung i + RE(1/w) = w ?
Mein rechenweg:
w := (a,b) = a + bi = RE (1/w) + i [mm] \Rightarrow [/mm] b=1 , also w=(a,1)
[mm] \Rightarrow [/mm] 1/w = 1/a+i = [mm] a/(a^2 [/mm] + 1) - (1/ [mm] (a^2+1)) [/mm] i
da nun gelten soll, dass RE (1/w) = RE (w) , also muss gelten, dass
a = a / [mm] (a^2 [/mm] + 1)
so, ist das soweit richtig oder habe ich da einen denkfehler drin?
wär echt sehr nett, wenn sich das mal jemand durchgucken könnte, weil ich das erste mal mit komplexen zahlen rechne und gerne wissen würde, ob ich das richtig gemacht hab.
danke im voraus für die hilfe,
die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Fr 07.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also, ich habe einige aufgaben zu komplexen Zahlen, habe
> aber noch einige probleme oder weiß nicht, ob ich das
> richtig gelöst habe.
>
> 1. Die Komplexen Zahlen {1, 2+i, z} bilden in der Gauss -
> Ebene ein gleichseitiges Dreieck. Bestimmen sie z [mm]\in \IC.[/mm][/u]
>
> Mein Lösungsweg (mit nem fehler, weil das ergebnis nicht
> hinhaut...)
>
> 1 := (1,0)
> 2+i := (2,1)
> z := (a,b)
>
> Länge s aller Seiten des gleichseitigen Dreiecks:
> s = [mm]\wurzel{(2-1)^2 + (1-0)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm] = [mm]\wurzel{(a-2)^2 + (b-1)^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]a^2[/mm] -4a + [mm]b^2[/mm] - 2b + 3
>
> und 0 = [mm]a^2[/mm] - 2a + [mm]b^2[/mm] - 1
>
> nach Gleichsetzung dieser beiden Formeln komme ich auf
>
> b = -a+2
>
> so, und wenn ich das dann in die erste oder 2. gleichung
> einsetze, komme ich daruaf, dass
>
> 0 = [mm]a^2[/mm] - 3a + 1,5
>
> und dann
>
> a1 = 1,5 + [mm]\wurzel{1,75}[/mm]
>
> a2 = 1,5 - [mm]\wurzel{1,75}[/mm]
hier hab ich in der Wurzel 0,75 statt 1,75: [mm] 1,5^2-1,5=2,25-1,5=0,75
[/mm]
>
> aber wenn ich damit b1 und b2 berechne und das in die
> gleichung für die länge einer strecke einsetze, komme ich
> nicht auf wurzel 2....
> sieht jemand meinen fehler? ich hab schon oft gesucht aber
> ich find ihn nicht...
Ich hoffe das war er!
> 2. Skizzieren Sie die Punktmengen B = [mm]{z\in\IC : 1 < \vmat{ z+1-i } < 3}[/mm]
> und C = [mm]{z\in\IC : \vmat{ z-(1+i) } = \vmat{ z+2+i } }[/mm]
>
> Also zu B:
>
> Also ich weiß, dass z - i einen Kreis um den Mittelpunkt
> i=1 bildet, mit dem Radius r. Jezt habe ich einen Kreis um
> den Mittelpunkt i mit Radius zwischen 1 und 3. Und dieser
wenn du das als |z-(-1+i)|<3 schreibst hast du einen Kreis um (-1+i) (bei =3) allgemein [mm] |z-z_0|=r [/mm] ist ein Kreis mit Radius r um [mm] z_0
[/mm]
> wird um 1 nach links verschoben, da der Realteil aller
> dieser z - 1 gerechnet wird.
> Ist das Richtig oder habe ich einen denkfehler?
ist richtig, aber umständlich gedacht!
>
> und zu C :
>
> Das habe ich versucht, auszurechnen:
bei komplexen Beträgen kannst du nicht Fallunterscheidungen machen, denn komplexe Zahlen kann man ja nicht ordnen,
drum ist dieser Ansatz falsch.
rechne einfach die Beträge, wie in der ersten Aufgabe aus! bzw. ihre Quadrate!
> 1. Fall: beide Terme sind positiv oder beide negativ :
> komme zu keiner lösung (Also mit terme positiv
> bzw. negativ meine ich, dass das in den Betragsstrichen
> beides größer oder beides kleiner 0 ist)
>
> 2. Fall: ein term negativ und der andere positiv:
> komme auf einen punkt (-0,5 , 0)
>
> 3. Fall: es müssten beide 0 sein (noch nicht ausgerechnet)
>
> 4. Fall: term 1 null und der andere positiv oder negativ
> (noch nicht ausgerechnet)
>
> 5. fall: term 2 null und der andere positiv oder negativ
> (noch nicht ausgerechnet)
>
> sind die fälle soweit richtig aufgestellt und die ersten 2
> richtig berechnet?
>
>
> 3. Welche [mm]w\in\IC[/mm] erfüllen die Gleichung i + RE(1/w) = w ?
3 ist richtig!
> Mein rechenweg:
>
> w := (a,b) = a + bi = RE (1/w) + i [mm]\Rightarrow[/mm] b=1 , also
> w=(a,1)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1/w = 1/a+i = [mm]a/(a^2[/mm] + 1) - (1/ [mm](a^2+1))[/mm] i
>
> da nun gelten soll, dass RE (1/w) = RE (w) , also muss
> gelten, dass
>
> a = a / [mm](a^2[/mm] + 1)
>
> so, ist das soweit richtig oder habe ich da einen
> denkfehler drin?
>
Nein.
Bei 2 solltest du ne Gerade rauskriegen! nenn z=x+iy dann sieht man sie leichter als mit a+ib!
Gruss leduart
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danke leduart für die schnelle hilfe!
also ich habe das ganze jetzt überarbeitet, hoffe, dass es jetzt alles stimmt:
also zur 1. aufgabe:
mit a = 1,5 +/- Wurzel 0,75 stimmt das ganze, was fürn doofer rechenfehler.. danke ;)
zur 2 aufgabe:
Also ich habe das bei der Menge C jetzt mit den Beträgen ausgerechnet und komme darauf, dass C eine Gerade bildet, und zwar die aller Punkte, die die Form (a, -1,5a-0,75) haben. hoffe, das stimmt so?
und zur 3.:
also wie ich aus deiner antwort entnommen ahbe, was das soweit richtig, also habe ich das jetzt noch ausgerechnet und komme darauf, dass w=(0,1) , aber ich kann mir nicht vorstellen, dass wirklich nur eine lösung für w rauskommt, denn da steht ja in der fragestellung "welche" ... wo kann denn mein fehler liegen??
danke für die hilfe bis hierher, wär echt dankbar wenn nochmal jemand schauen könnte, ob es jetzt richtig ist.
danke im voraus, die_conny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 10.12.2007 | | Autor: | die_conny |
ich bin immernoch an der antwort interessiert, auch wenn der zeitpunkt zum ist.
die_conny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mi 12.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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könnte bitte noch mal jemand schauen, ob ich die aufgabe, wo es um die ermittlung der w geht (mit re(w) = re (1/w) ) nun richtig gelöst habe? alle anderen aufgaben sind mir jetzt vollkommen klar.
vielen dank im voraus, die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> könnte bitte noch mal jemand schauen, ob ich die aufgabe,
> wo es um die ermittlung der w geht (mit re(w) = re (1/w) )
> nun richtig gelöst habe?
Ich bekomme auch w=i heraus.
re(w) = re (1/w) ist übrigens äquivalent zu [mm]|w|=1[/mm], wegen
[mm] \mathop{\mathrm{Re}}\left(\bruch{1}{w}\right) = \mathop{\mathrm{Re}}\left(\bruch{\overline{w}}{|w|^2}\right) = \bruch{1}{|w|^2}\mathop{\mathrm{Re}}(\overline{w}) = \bruch{1}{|w|^2}\mathop{\mathrm{Re}}(w)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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