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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Frusciante |
Aufgaben aus Kapitel I, § 4. Spezielle Verteilungen und deren Eigenschaften
Man zeige: Eine reelle Zufallsvariable $X$ ist genau dann singulär verteilt, wenn für jede reelle Zahl [mm] $\alpha$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm] $P\{X\le \alpha\}$ [/mm] gleich $0$ oder $1$ ist.
Für die Zahlenfolge
[mm] $a_n:=n!\left(\bruch{e}{n}\right)^n n^{-1/2}$
[/mm]
gilt
[mm] $\log\bruch{a_n}{a_{n+1}}=\left(n+\bruch12\right)\log\bruch{n+1}{n}-1$.
[/mm]
Aus der Potenzreihe für den Logarithmus folgt für $0<x<1$
[mm] $2x<\log\bruch{1+x}{1-x}=2\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}<2x+\bruch23 x^2 \summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}=2x+\bruch{x^2}{3}*\left(\bruch{1}{1-x}-\bruch{1}{1+x}\right)$
[/mm]
und somit für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] (und [mm] $x:=(2n+1)^{-1}$)
[/mm]
[mm] $0<\log\bruch{a_n}{a_{n+1}}<\bruch{1}{12}*\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)$.
[/mm]
Man folgere
[mm] $0<\log\bruch{a_n}{a_{n+k}}<\bruch{1}{12}*\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+k}\right)$ ($k,n\in\IN$),
[/mm]
beweise sodann die Existenz einer Zahl [mm] $\alpha>0$ [/mm] mit [mm] $a_n\downarrow \alpha$ [/mm] und folgere (4.6'').
Mit Hilfe des Wallisschen Produkts
[mm] $\bruch{\pi}{2}=\produkt_{n=1}^{\infty} \bruch{4n^2}{4n^2-1}=\limes_{m\to\infty} \bruch{2^{4m}m!^4}{(2m)!^2 (2m+1)}$
[/mm]
zeige man, dass die Konstante [mm] $\alpha$ [/mm] aus Aufgabe 2 gleich [mm] $\wurzel{2\pi}$ [/mm] ist.
Für eine [mm] $N(0,\sigma^2)$-verteilte [/mm] Zufallsvariable $X$ leite man aus (4.22) die Abschätzungen
[mm] $P\{X\ge \eta\}<(2/\pi)^{1/2} e^{-1} \bruch{\sigma^3}{\eta^3}$ [/mm] bzw. [mm] $(2\pi)^{-1/2} \bruch{\sigma}{2\eta} e^{-\eta^2 / 2\sigma^2}
für [mm] $\eta>0$ [/mm] bzw. [mm] $\eta\ge\sigma>0$ [/mm] her.
Man zeige ferner, dass [mm] $P\{X\ge\eta\}$ [/mm] für [mm] $\eta\to+\infty$ [/mm] asymptotisch gleich [mm] $(2\pi)^{-1/2} \bruch{\sigma}{2\eta} e^{-\eta^2 / 2\sigma^2}$ [/mm] ist.
[Anleitung: Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt $x [mm] e^{1-x}\le [/mm] 1$.]
Gegeben seien natürliche Zahlen $n,s,m$ mit $s<n$ und $m<n$. Man zeige:
(a) [mm] $\eta_{n,s,m}:={n\choose m}^{-1} \summe_{k=0}^m [/mm] {s [mm] \choose [/mm] k} {n-s [mm] \choose [/mm] m-k} [mm] \varepsilon_k$
[/mm]
ist ein W-Maß auf [mm] $\mathcal{B}^1$. [/mm] Es wird die hypergeometrische Verteilung mit den Parametern $n,s$ und $m$ genannt.
(b) [mm] $\eta_{n,s,m}$ [/mm] ist die Verteilung einer Zufallsvariablen, welche auf dem in § 2, Abschnitt 1(a) (Ziehen ohne Zurücklegen), behandelten W-Raum definiert ist.
Man vergleiche dieses Resultat mit der in Abschnitt 4 gegebenen w-theoretischen Interpretation der Binomialverteilung $B(n;p)$.
Eine reelle Zufallsvariable $X$ habe die hypergeometrische Verteilung [mm] $\eta_{n,s,m}$ [/mm] aus Aufgabe 5 als Verteilung. Dann gilt
$E(X)=mp$ und [mm] $V(X)=\bruch{n-m}{n-1} [/mm] mpq$,
wobei [mm] $p:=\bruch{s}{n}$ [/mm] und $q:=1-p$ ist.
Für je endlich viele Zahlen [mm] $p_1,\ldots,p_d\in\IR_+$ [/mm] mit [mm] $p_1+\ldots+p_d=1$ [/mm] und für jede natürliche Zahl $n$ wird durch
[mm] $\summe \bruch{n!}{n_1!\cdots n_d!} p_1^{n_1}*\ldots*p_d^{n_d} \varepsilon_{(n_1,\ldots,n_d)}$
[/mm]
eine diskrete Verteilung auf [mm] $\mathcal{B}^d$, [/mm] genannt Multinomial-Verteilung, definiert, wenn sich dabei die Summation über alle ganzen Zahlen [mm] $n_1,\ldots,d_d\ge [/mm] 0$ mit [mm] $n_1+\ldots+n_d=n$ [/mm] erstreckt.
Aufgaben aus Kapitel I, § 5. Kovergenz von Zufallsvariablen und Verteilungen
Ausgehend von (5.2'') formuliere und beweise man ein Cauchy-Kriterium für die fast sichere Konvergenz reeller Zufallsvariablen.
Für eine Folge [mm] $(X_n)$ [/mm] reeller Zufallsvariablen auf einem W-Raum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] gelte
[mm] $P\{|X_n|>\varepsilon\}<\varepsilon$
[/mm]
für schließlich alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] bei beliebig gegebenem [mm] $\varepsilon>$. [/mm] Ist diese Bedingung gleichwertig zur stochastischen Konvergenz der Folge [mm] $(X_n)$ [/mm] gegen $X=0$?
Es bezeichne [mm] $F_\sigma$ [/mm] für jedes [mm] $\sigma>0$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Normalverteilung [mm] $N(0,\sigma^2)$ [/mm] und [mm] $F_0$ [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] $\varepsilon_0$.
[/mm]
Man zeige: für alle [mm] $x\not=0$, [/mm] nicht aber für $x=0$, gilt
[mm] $\limes_{\simga\to 0+} F_\sigma(x)=F_0(x)$
[/mm]
(Vgl. hierzu Bemerkung 2.)
Für die Familie [mm] $(\pi_\alpha)_{\alpha>0}$ [/mm] der Poisson-Verteilungen auf [mm] $\IR$ [/mm] zeige man, dass im Sinne der schwachen Konvergenz
[mm] $\limes_{\alpha\to 0+} \pi_\alpha=\varepsilon_0$
[/mm]
gilt. Gibt es ein W-Maß [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{B}^1$ [/mm] mit [mm] $\limes \pi_\alpha=\mu$ [/mm] für [mm] $\alpha\to +\infty$?
[/mm]
Durch eine Analyse des Beweises von Satz 5.1 zeige man, dass eine Folge [mm] $(\mu_n)$ [/mm] von W-Maßen auf [mm] $\mathcal{B}^1$ [/mm] genau dann schwach gegen ein W-Maß [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{B}^1$ [/mm] konvergiert, wenn [mm] $\limes\integral f\mathrm{d}\mu_n=\integral f\mathrm{d}\mu$ [/mm] für alle gleichmäßig stetigen, beschränkten, reellen Funktionen auf [mm] $\IR$ [/mm] gilt. (Dem Leser von MI, Kap. IV ist dieses Phänomen bereits aus § 30, Aufgabe 10 bekannt.)
Aufgaben aus Kapitel II, § 6. Unabhängige Ereignisse und [mm] $\sigma$-Algebren
[/mm]
Man beweise:
(a) Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann unabhängig, wenn $A$ und [mm] $\complement [/mm] B$ unabhängig sind. Sie sind insbesondere dann unabhängig, wenn $P(B)=0$ oder $=1$ ist.
(b) Sind die Ereignisse $A,B,C$ unabhängig, so sind [mm] $A\cup [/mm] B$ und $C$ unabhängig.
Für zwei Mengen [mm] $\mathcal{E}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{E}_2$ [/mm] von Ereignissen eines W-Raumes [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{E}_1\subset\mathcal{E}_2$ [/mm] zeige man:
[mm] $\mathcal{E}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{E}_2$ [/mm] sind genau dann unabhängig, wenn $P(A)=0$ oder $=1$ für alle [mm] $A\in\mathcal{E}_1$ [/mm] gilt.
Man gebe ein Beispiel einer unabhängigen Familie [mm] $(\mathcal{E}_i)_{i\in I}$ [/mm] von Mengen [mm] $\mathcal{E}_i\subset \mathcal{A}$ [/mm] an, für welche die Familie [mm] $(\mathbb{\sigma}(\mathcal{E}_i))_{i\in I}$ [/mm] der erzeugten [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] nicht unabhängig ist.
Für jeden W-Raum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] sind [mm] $\emptyset$ [/mm] und [mm] $\Omega$ [/mm] sowie [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $\emptyset$ [/mm] stets Paare unabhängiger Ereignisse. Sind dies die einzigen Paare unabhängiger Ereignisse in [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] so heiße der W-Raum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] unabhängigkeitsfrei.
Man zeige, dass dies auf jeden der beiden folgenden W-Räume zutrifft:
(a) [mm] $\Omega:=\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] 2$; [mm] $\mathcal{A}:=\mathcal{P}(\Omega)$; [/mm] $P$ wird festgelegt durch [mm] $P\{k\}:=\varepsilon$ [/mm] für [mm] $2\le k\le [/mm] n$ und [mm] $P\{1\}:=1-(n-1)\varepsilon$, [/mm] wobei [mm] $\varepsilon$ [/mm] eine irrationale Zahl mit [mm] $0<\varepsilon<(n-1)^{-1}$ [/mm] ist.
(b) [mm] $\Omega:=\IN$; $\mathcal{A}:=\mathcal{P}(\Omega)$; $P\{k\}:=2^{-k!},\ k\ge [/mm] 2,\ [mm] P\{1\}:=1-\summe_{k=2}^\infty P\{k\}$.[/mm]
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