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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Do 12.02.2009 | | Autor: | mercator |
| Aufgabe | | G Gruppe mit |G| = 147 = 3 * [mm] 7^2, [/mm] H Normalteiler von G mit Ordnung 7. Warum ist dann G/H [mm] \cong \IZ/3\IZ [/mm] ? |
Hallo,
folgendes läuft auf dasselbe Problem hinaus:
Ich möchte zeigen, dass eine Gruppe der Ordnung 2009 auflösbar ist.
Da 2009 = [mm] 41*7^2, [/mm] folgt mit Sylow, dass ich einen Normalteier H der Ordnung 41 habe. Dieser ist als p-Gruppe auflösbar, aber kann ich jetzt sagen, dass G/H [mm] \cong \IZ/49\IZ [/mm] ist?
Danke für die Hilfe,
mercator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 12.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo mercator
> G Gruppe mit |G| = 147 = 3 * [mm]7^2,[/mm] H Normalteiler von G mit
> Ordnung 7. Warum ist dann G/H [mm]\cong \IZ/3\IZ[/mm] ?
Das stimmt so ganz sicher nicht: $G/H$ hat $7 [mm] \cdot [/mm] 3$ Elemente, [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] nur 3.
Oder meinst du dass $H$ nicht 7, sondern [mm] $7^2$ [/mm] Elemente hat? In dem Fall hat $G/H$ 3 Elemente, und jede Gruppe mit 3 Elementen ist isormorph zu [mm] $\IZ/3\IZ$.
[/mm]
> Hallo,
> folgendes läuft auf dasselbe Problem hinaus:
> Ich möchte zeigen, dass eine Gruppe der Ordnung 2009
> auflösbar ist.
> Da 2009 = [mm]41*7^2,[/mm] folgt mit Sylow, dass ich einen
> Normalteier H der Ordnung 41 habe. Dieser ist als p-Gruppe
> auflösbar, aber kann ich jetzt sagen, dass G/H [mm]\cong \IZ/49\IZ[/mm]
> ist?
Nun, $G/H$ ist eine Gruppe mit $49 = [mm] 7^2$ [/mm] Elementen. (Und damit als $p$-Gruppe aufloesbar.) Allerdings ist [mm] $\IZ/49\IZ$ [/mm] nicht die einzige Gruppe mit 49 Elementen, es gibt auch noch [mm] $\IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ$. [/mm] (Aber sonst keine: jede Gruppe mit [mm] $p^2$ [/mm] Elementen ist abelsch, und nach dem Hauptsatz ueber endliche abelsche Gruppen kann es somit nur zwei verschiedene nicht-isomorphe geben.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Do 12.02.2009 | | Autor: | mercator |
Danke, das hat alles geklärt :)
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