Auflösen nach x bzw. y < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] definiert durch [mm] (x,y)\mapsto -x^{4}+x^{2}-y^{2}. [/mm] Entscheiden sie für jeden der folgenden Punkte [mm] (a,b)\in\IR^2, [/mm] ob die Gleichung f(x,y)=0 in einer Umgebung von (a,b) nach y (bzw. x) aufgelöst werden kann.
i) (0,0)
ii) ...
iii) ...
iv) (1,0) |
Hallo,
ich hoffe diese Aufgabe wurde hier noch nicht gepostet. AUf den vergangenen 15 Seiten konnte ich sie jedoch nicht finden (wir haben die schon etwas länger).
Die Gleichung nach y aufzulösen gestaltet sich nicht so schwierig. Einfach [mm] +y^2 [/mm] und dann die Wurzel nehmen. Daraus erhält man dann die Bedingung, das x aus dem Interval (-1,1) sein darf.
Auf die Art und Weise komme ich aber beim auflösen nach x nicht weiter. Ausserdem habe ich gelesen, dass man die Determinante der Jacobiematrix braucht!? Aber ich erhalte doch nur eine 1x2 Matrix, oder!?
ii) und iii) hab ich oben weggelassen, weil die Ausdrücke n bisschen länger sind und ich ja schon glücklich bin, wenn mir irgendjemand den Weg erklären könnte.
Aber lasst euch vom Fuba schaun nicht ablenken - wenn man das kann, kann man mir das auch sicher in der Halbzeitpause kurz erklären ;)
MfG,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Olek,
du brauchst den ![[]](/images/popup.gif) Satz über implizite Funktionen. Die Kurzfassung:
1.Es muss gelten f(a,b)=0, z.b. bei i) f(0,0)=0, ok, das ist erfüllt.
2. Dann bilde die part. Ableitung nach y,ist bei dir nur ne 1x1 Matrix/bzw ne Zahl
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=-2y
[/mm]
3.Setze den Punkt (a,b) ein, an dem du lokale Auflösbarkeit überprüfen willst. Ist diese Matrix (in deinem Fall nur eine Zahl) invertierbar, ist lokal eine eindeutige Auflösbarkeit gegeben.
Bsp [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. [/mm] Das ist nicht invertierbar. Also ist in (0,0) keine eindeutige Auflösbarkeit nach y gegeben.
Das widerspricht deiner ersten Überlegung, weil du übersehen hast,dass sich die Lösungen von [mm] y=\pm\wurzel{x^2(-x^2+1)} [/mm] nicht nur bei [mm] x=\pm1, [/mm] sondern auch bei x=0 verzweigen und somit dort in einer Umgebung nicht eindeutig sind.
Mit der part. Abl. nach x kannst du die Auflösbarkeit nach x überprüfen.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Olek |
Hi,
danke für die schnelle und klar verständliche Antwort. Das einzige was ich nicht verstanden hab (was aber auch nicht so wichtig ist), ist wo der Fehler in meiner Überlegung mit dem Punkt (0,0) liegt. Dass es an dem Punkt nicht funktioniert sehe ich nach deiner Methode zwar ein, sehe aber noch nicht, warum sich das bei $ [mm] y=\pm\wurzel{x^2(-x^2+1)} [/mm] $ "verzweigt" und nicht hin haut.
Damit kannst du dir jetzt aber Zeit lassen ;)
Schönen Dank,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Walde |
Gern geschehen,
kuck dir mal das Bild an, da siehst du es leicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
In (0,0) kann man keine (noch so kleine) Umgebung finden, in der nicht beide Lösungszweige (die positive und negative Wurzel) vorhanden wären. Genauso wie in -1 und 1 (da konnte das Programm aber nicht mehr zeichnen.
L G walde
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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