Auflösung von Determinanten < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Mein Problem betrifft die Auflösung der 3-spaltigen Determinanten. Ich habe beispielsweise die Determinante
$ [mm] \vmat{ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 2} [/mm] $ = - $ [mm] \vmat{ 1 & 2 \\ -1 & 2 } [/mm] $ - $ [mm] \vmat{ 2 & 3 \\ 1 & 2 } [/mm] $ = -5 , die nach der 2. Spalte aufgelöst wurde.
Dann habe ich die Determinante $ [mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 2} [/mm] $ = $ [mm] \vmat{ 3 & 4 \\ 2 & 2 } [/mm] $ - $ [mm] \vmat{ 2 & 3 \\ 2 & 2 } [/mm] $ = 0 , die nach der 1. Spalte aufgelöst wurde.
Meine Frage ist nun, wann man die Determinanten von der 1., 2. oder 3. Spalte aus auflösen muss und wie die Auflösungsregeln für jede Spalte lauten. Oder konkreter, was bedeutet das Ergebnis einer Determinante eigentlich?
Mfg helpme110
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Hi,
im Prinzip ist es egal mit welcher Spalte du anfängst, manche gehen halt schneller als andere. Das Ergebnis ist aber das gleiche.
Ihr hattet doch bestimmt eine allgemeine Regel zum auflösen von Determinanten, wenn ich nach der ersten Spalte auflöse erhalte ich:
[mm]\vmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}= a\vmat{ e & f \\ h & i } - d \vmat{ b & c \\ h & i } +g \vmat{ b & c \\ e & f }[/mm]
Wie du siehst ist es praktisch, wenn jetzt a, d oder g null ist, deswegen wurde in deinem zweiten Beispiel auch nach der ersten Zeile aufgelöst.
Wie du vielleicht siehst, entsteht das ganze durch Streichen von Zeilen und Spalten.
Wenn ich von der ersten Spalte ausgehe, fange ich bei a an und streiche dann die Spalte und Zeile in der a steht übrig bleibt [mm] \vmat{ e & f \\ h & i } [/mm] und damit hab ich schon mal den ersten Teil, dann geh ich weiter mit d (Achte hier auf das Schachbrettmuster, du musst hier beim ausrechnen undbedingt ein minus dazu nehmen), auch bei d Streiche ich wieder die Zeilen und Spalten und erhalte dann [mm] \vmat{ b & c \\ h & i } [/mm] und so weiter.
Das ganze kann ich natürlich auf für die zweite Spalte machen:
[mm]\vmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}= -b\vmat{ d & f \\ g & i } +e \vmat{ a & c \\ g & i } -h \vmat{ a & c \\ d & f }[/mm]
kannst du sowas jetzt auch für die dritte Spalte entwickeln?
Eine Alternative ist auch ![[]](/images/popup.gif) die Regel von Sarrus
Gerad' das mit dem Schachbrettmuster ist einf, übungssache.
Mit Determinanten kannst du z.B. das Volumen eines Spats berechnen.
LG:Mareike
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Hallo nochmal,
vielen Dank für deine schnelle und detaillierte Antwort! Die Auflösung von Determinanten ist mir jetzt klar, eins hab ich aber leider immer noch nicht ganz verstanden: Was kann ich konkret mit dem Ergebnis einer Determinante anfangen? Wir haben im Unterricht nämlich folgendes berechnet, wobei ich nicht ganz sicher bin, ob ich alles richtig abgeschrieben habe.
(1) [mm] -3x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -1
(2) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 0
(3) [mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 2
D= $ [mm] \vmat{ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & -1} [/mm] $ = ... -7
[mm] D_{1}= [/mm] $ [mm] \vmat{ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -1} [/mm] $ = ... -21
[mm] x_{1}= [/mm] -21:-7=3
[mm] D_{2}= [/mm] $ [mm] \vmat{ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & -1} [/mm] $ = ... -14
[mm] x_{2}= [/mm] -14:-7= 2
[mm] D_{3}= [/mm] $ [mm] \vmat{ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2} [/mm] $ = ... 7
[mm] x_{3}= [/mm] 7:-7= -1
Das klingt für mich zwar logisch, da bei [mm] D_{1}, D_{2}, D_{3} [/mm] die Koeffizienten für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] in der Determinante jeweils an 1., 2. und 3. Stelle stehen. Allerdings ist mir unklar wie die "Grund-Determinante zustandegekommen ist, da die Zahlen dort überhaupt keine Chronologie aufweisen(wmgl. Schreibfehler?)
Mfg helpme110
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 So 16.11.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo helpme110!
> P.S.: Kann man die Determinante auch für andere Dinge
> nutzen?
Keine Ahnung, was ihr da oben gemacht habt, aber mit Determinanten kann man recht schnell rausfinden, ob Vektoren linear abhängig sind und damit auch, ob ein LGS eindeutig lösbar ist. Ist die Determinante nämlich [mm] \not= [/mm] 0, so ist das LGS eindeutig lösbar.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> (1) [mm] \red{2x_1}+[/mm] [mm]-3x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = -1
> (2) [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] = 0
> (3) [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 2
>
> D= [mm]\vmat{ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ \red{-1}1 & 2 & -1}[/mm] = ... -7
>
> [mm]D_{1}=[/mm] [mm]\vmat{ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -1}[/mm] =
> ... -21
>
> [mm]x_{1}=[/mm] -21:-7=3
>
> [mm]D_{2}=[/mm] [mm]\vmat{ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & -1}[/mm] =
> ... -14
>
> [mm]x_{2}=[/mm] -14:-7= 2
>
> [mm]D_{3}=[/mm] [mm]\vmat{ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2}[/mm] =
> ... 7
>
> [mm]x_{3}=[/mm] 7:-7= -1
>
> Das klingt für mich zwar logisch, da bei [mm]D_{1}, D_{2}, D_{3}[/mm]
> die Koeffizienten für [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] in der
> Determinante jeweils an 1., 2. und 3. Stelle stehen.
> Allerdings ist mir unklar wie die "Grund-Determinante
> zustandegekommen ist, da die Zahlen dort überhaupt keine
> Chronologie aufweisen(wmgl. Schreibfehler?)
Hallo,
ich habe Übertragungsfehler korrigiert.
Die erste Matrix ist die Koeffiientenmatrix des Gleichungssystems.
Es wurde hier mithilfe der Cramerschen Regel das Gleichungssystem gelöst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Mo 17.11.2008 | | Autor: | helpme110 |
Danke dir!
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