Auflosung Winkelfunktion < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mi 11.06.2008 | | Autor: | jules231 |
Hallo zusammen,
im rahmen meiner Diplomarbeit muss ich eine winkelfunktion aufstellen.
diese bekomme ich aber nicht aufgelöst.
mit matlab schon, aber ich brauche die schritte und die andgültige formel, aufgelöst nach alpha...
Gegeben sind: A,r,A1
Gesucht:a (alpha)
hier die Formel:
cos(a) * A1 = A + r*sin(a)
ist es überhaupt möglich, das nach (a) aufzulösen?
vielen dank für die hilfe!!!
gruß
Jules
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 11.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Gegeben sind: A,r,A1
> Gesucht:a (alpha)
>
> hier die Formel:
>
> cos(a) * A1 = A + r*sin(a)
>
> ist es überhaupt möglich, das nach (a) aufzulösen?
verwende [mm] $\sin^2 [/mm] a + [mm] \cos^2 [/mm] a = 1$, löse nach [mm] $\cos [/mm] a$ auf und ersetze oben.
Dann substituiere $z = [mm] \sin [/mm] a.$
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mi 11.06.2008 | | Autor: | jules231 |
hi,vielen dank...
bekomme das nicht ganz aufgelöst stehe dann bei:
[mm] A1^2+A2 [/mm] = (2*A1/z + [mm] r^2 [/mm] + A1) * [mm] z^2
[/mm]
wenn ich es richtig umformuliert habe...
oder hab ich irgendwo vorher nen fehler geamcht?
danke!
viele grüße...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mi 11.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] A_{1}*\cos(\alpha)=A+r*\sin(\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw A_{1}^{2}*\cos²(\alpha)=(A+r*\sin(\alpha))²
[/mm]
mit [mm] \cos²(\alpha)+\sin²(\alpha)=1 \Rightarrow \cos²(\alpha)=1-\sin²(\alpha)
[/mm]
Ergibt sich:
[mm] A_{1}^{2}*(1-\sin²(\alpha))=(A+r*\sin(\alpha))²
[/mm]
[mm] \gdw A_{1}^{2}-A_{1}²*\sin²(\alpha)=A²+2AR*\sin(\alpha)+\sin²(\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw (-A_{1}-1)\sin²(\alpha)-2AR*\sin(\alpha)+(A_{1}²-A²)=0
[/mm]
[mm] \gdw -(A_{1}+1)\sin²(\alpha)-2AR*\sin(\alpha)+(A_{1}²-A²)=0
[/mm]
[mm] \gdw \sin²(\alpha)+\bruch{2AR}{A_{1}+1}*\sin(\alpha)-\bruch{A_{1}²-A²}{A_{1}+1}=0
[/mm]
Jetzt substituiere mal [mm] z:=\sin(\alpha)
[/mm]
Also wird:
[mm] \sin²(\alpha)+\bruch{2AR}{A_{1}+1}*\sin(\alpha)-\bruch{A_{1}²-A²}{A_{1}+1}=0
[/mm]
zu:
[mm] z²\underbrace{+\bruch{2AR}{A_{1}+1}}_{p}*z\underbrace{-\bruch{A_{1}²-A²}{A_{1}+1}}_{q}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1;2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Jetzt einsetzen und dann Rücksubstituieren führt zum Ziel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mi 11.06.2008 | | Autor: | jules231 |
danke für antwort...
für mich leider nicht nachvollziehbar, und ich glaube auch mit fehlern gespickt...
welche regeln wendest du hier an?
$ [mm] \gdw A_{1}^{2}-A_{1}²\cdot{}\sin²(\alpha)=A²+2AR\cdot{}\sin(\alpha)+\sin²(\alpha) [/mm] $
stimmt schon nicht, fehlt das r im letzten term
$ [mm] \gdw (-A_{1}-1)\sin²(\alpha)-2AR\cdot{}\sin(\alpha)+(A_{1}²-A²)=0 [/mm] $
da weiss ich überhaupt nicht, was du da gemacht hast...
ich habe ing-mathe gut bestanden, aber das ist für mich entweder ein bissl zu hoch...
danke!
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Hallo!
Es stimmt, MRex hat da mindestens einen Fehler gemacht.
Dennoch solltest du als naturwissenschaftlicher Diplomand doch nun in der Lage sein, mit der nun doch sehr ausführlichen erklärten Aufgabe klar zu kommen.
Nochmal ganz grob:
Die Essenz der Rechnung ist eben, daß du mittels sin²+cos²=1 dafür sorgst, daß in deiner Gleichung nur noch SIN (oder auch nur COS) auftaucht.
Danach bringst du alles auf eine Seite, und löst die Klammern auf.
Wie du schon gesehen hast, gibt es dann Summanden ohne SIN, welche mit SIN, und auch welche mit SIN² . Die fasst du alle so zusammen, daß da steht
[mm] $\Box \sin^2(\alpha)+\Box \sin(\alpha)+\Box=0$
[/mm]
Bis auf das sin²+cos²=1 werden da keine besonderen Regeln benutzt, das ist bis hier hin ganz banales Termumformen.
Hier machst du jetzt die Substitution, und bekommst
[mm] $\Box z^2+\Box z+\Box=0$
[/mm]
Dies ist eine quad. Gleichung, die du lösen kannst. Und dann noch [mm] \alpha=\arcsin(z) [/mm] .
Weil du vermutlich zwei Lösungen für z bekommst, bekommst du auch zwei Lösungen für [mm] \alpha [/mm] raus. Denk aber dran, daß neben diesen Lösungen auch noch alle Winkel, die sich um Vielfache von [mm] 2\pi [/mm] von den berechneten Lösungen unterscheiden, ebenfalls Lösungen sind. Schließlich ist der SIN periodisch.
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