Aufspaltung einer Wahrsc.-keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich steh seit einiger Zeit auf dem Schlauch.
Folgende Wahrscheinlichkeitszerlegung ist angeblich falsch. Kann jemand den Fehler finden?
[mm] $P(T_1
Rein inhaltlich kann die Bedingung schon sein, hier gibt es keinen Widerspruch. Es gilt [mm] $T_2 \le T_1$, [/mm] bezüglich dem Zähler k gibt es sonst keine Restriktionen.
Vielen Dank schonmal für das Mitdenken!
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> Hallo zusammen,
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> ich steh seit einiger Zeit auf dem Schlauch.
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> Folgende Wahrscheinlichkeitszerlegung ist angeblich falsch.
> Kann jemand den Fehler finden?
>
> [mm]P(T_1
>
> Rein inhaltlich kann die Bedingung schon sein, hier gibt es
> keinen Widerspruch. Es gilt [mm]T_2 \le T_1[/mm], bezüglich dem
> Zähler k gibt es sonst keine Restriktionen.
>
> Vielen Dank schonmal für das Mitdenken!
Hallo randomsamson,
Mit den Abkürzungen
A: $\ [mm] T_1
B: $\ [mm] T_1\ge [/mm] k\ [mm] \wedge\ T_2\ge [/mm] k$
C: $\ [mm] T_1\ge [/mm] k\ [mm] \wedge\ T_2< [/mm] k$
wird hier behauptet, dass $\ [mm] P(\,A\,|\,B\cup C\,)\ [/mm] =\ [mm] P(\,A\,|\,B\,)\ [/mm] +\ [mm] B(\,A\,|\,C\,)$ [/mm] ,
wobei noch $\ [mm] B\cap [/mm] C\ =\ [mm] \{\ \}$ [/mm] (**) vorausgesetzt werden darf.
Die behauptete Gleichung würde sicher zutreffen, falls
wir außerdem wüssten, dass [mm] B\cup{C}=S [/mm] wäre (sicheres
Ereignis), d.h. mit (**) zusammen, dass [mm] C=\overline{B}.
[/mm]
Dies dürfen wir aber nicht voraussetzen, falls es auch
möglich ist, dass [mm] T_1
sorry , das war jetzt mal mehrheitlich Quatsch ...
LG , Al-Chw.
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Vielen Dank schonmal, Al-Chw!
Hmm, aber auf der linken Seite der Gleichung wird doch auf [mm] $T_1\ge [/mm] k$ bedingt, und nicht etwa auf ein sicheres Ereignis...?
Diese Bedingung gilt es ja zu replizieren, und das mache ich indem ich sie weiter unterteile in zwei disjunkte Ereignisse, welche in der Vereinigung eben wieder [mm] $T_1\ge [/mm] k$ ergeben. Ich habs wohl noch nicht ganz geschnallt...
Vielleicht wird mir die Sache klar, wenn ich einen Lösungsansatz sehe? Teil der Lösung ist es laut Hersteller der Aufgabe, die linke Wahrscheinlichkeit aufzuteilen nach dem Ereignis, dass [mm] $T_2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 25.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo randomsamson,
falsch sind z.B. die "Rechenregeln"
(Achtung, Blödsinn! -->) [mm] $P(A|B\cup [/mm] C)=P(A|B)+P(A|C)$ im Falle [mm] $B\cap C=\emptyset$
[/mm]
oder
(Achtung, Blödsinn! -->) [mm] $P(A|B)=P(A|B\cap C)+P(A|B\cap C^c)$.
[/mm]
Korrekt sind dagegen die Rechenregeln
[mm] $P(A\cup [/mm] B|C)=P(A|C)+P(B|C)$ im Falle [mm] $A\cap B=\emptyset$
[/mm]
und somit
[mm] $P(A|C)=P((A\cap B)\cup(A\cap B^c)|C)=P(A\cap B|C)+P(A\cap B^c|C)$.
[/mm]
Vielleicht hilft letztere Rechenregel dir weiter?
> Vielleicht wird mir die Sache klar, wenn ich einen
> Lösungsansatz sehe?
Dazu müssten wir zunächst die Aufgabenstellung sehen...
Viele Grüße
Tobias
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Vielen Dank für die Klarstellungen, Tobias!
Die letzte Regel hilft mir leider nicht, denn ich möchte ja die Bedingung aufteilen, nicht das vor der Bedingung...
Also hier mal die ganze Aufgabe:
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Vorgegeben sind reelle eindimensionale nichtnegative absolut stetige Zufallsvariablen [mm] $T_a$ [/mm] und [mm] $T_1$ [/mm] auf einem gemeinsamen W-Raum [mm] $(\Omega,A,P)$ [/mm] mit [mm] $T_a \le T_1$. [/mm] Dabei soll [mm] $T_a$ [/mm] bzw. [mm] $T_1$ [/mm] die zukünftige Aktivitäts- bzw- Lebensdauer einer x-jährigen aktiven Person bedeuten.
Für k=0,1,2,... bezeichne:
[mm] $q_{x+k}:=P(T_1
[mm] $q_{x+k}^i [/mm] := [mm] P(T_1
Zeigen Sie:
[mm] $q_{x+k}=q_{x+k}^i -P(T_a\ge k|T_1\ge k)\{q_{x+k}^i -P(T_1
--------------------------------------
Ende der Aufgabenstellung
Wie gesagt habe ich den Lösunghinweis bekommen, dass ich [mm] $q_{x+k}$ [/mm] zunächst aufteilen sollte, und zwar nach [mm] $T_a
Ich werde mal versuchen, nicht die Bedingung aufzuteilen sondern das Argument vor der Bedingung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 25.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Die letzte Regel hilft mir leider nicht, denn ich möchte
> ja die Bedingung aufteilen, nicht das vor der Bedingung...
Ich vermute, der/die Tippgeber(in) meinte mit dem Aufteilen durchaus "das Ereignis vor dem Bedingungsstrich".
> Also hier mal die ganze Aufgabe:
> -------------------------------------------------
>
> Vorgegeben sind reelle eindimensionale nichtnegative
> absolut stetige Zufallsvariablen [mm]T_a[/mm] und [mm]T_1[/mm] auf einem
> gemeinsamen W-Raum [mm](\Omega,A,P)[/mm] mit [mm]T_a \le T_1[/mm]. Dabei soll
> [mm]T_a[/mm] bzw. [mm]T_1[/mm] die zukünftige Aktivitäts- bzw- Lebensdauer
> einer x-jährigen aktiven Person bedeuten.
>
> Für k=0,1,2,... bezeichne:
>
> [mm]q_{x+k}:=P(T_1
> [mm]q_{x+k}^i := P(T_1
> (Sogenannte Invalidensterbew't)
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]q_{x+k}=q_{x+k}^i -P(T_a\ge k|T_1\ge k)\{q_{x+k}^i -P(T_1
>
> --------------------------------------
> Ende der Aufgabenstellung
(Ich gehe davon aus, dass die Zufallsvariablen so beschaffen sein sollen, dass alle in der Behauptung auftretenden bedingten Wahrscheinlichkeiten existieren.)
(Eine ziemlich unübersichtliche Aufgabe...)
> Wie gesagt habe ich den Lösunghinweis bekommen, dass ich
> [mm]q_{x+k}[/mm] zunächst aufteilen sollte, und zwar nach [mm]T_a
> dem Komplement, um damit dann auf [mm]q_{x+k}^i [/mm] zu kommen...
>
> Ich werde mal versuchen, nicht die Bedingung aufzuteilen
> sondern das Argument vor der Bedingung.
Gute Idee!
Stichpunkte, was mir noch zu einer (allerdings wohl nicht sonderlich eleganten) Lösung geholfen hat:
- von beiden Seiten der behaupteten Gleichheit losrechnen
- auf der rechten Seite ausmultiplizieren und dann [mm] $q_{x+k}^i$ [/mm] ausklammern
- die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeiten anwenden
- aus [mm] $T_a\le T_1$ [/mm] Dinge wie [mm] $\{T_a\ge k,T_1\ge k\}=\{T_a\ge k\}$ [/mm] folgern
- Brüche kürzen
Viel Erfolg!
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Nochmals vielen Dank!
Ich hätte inzwischen eine Lösung in 6 Zeilen. Allerdings bin ich mir unsicher, ob ich Folgendes behaupten kann:
[mm] $P(T_a
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Do 26.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hätte inzwischen eine Lösung in 6 Zeilen.
Das klingt ja super! 
> Allerdings
> bin ich mir unsicher, ob ich Folgendes behaupten kann:
>
> [mm]P(T_a
Ja, diese Gleichung stimmt.
Variante 1: Rechne dies anhand der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeiten nach.
Variante 2: Ihr hattet vielleicht in der Vorlesung, dass die Abbildung, die jedem Ereignis $A$ die bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] $P(A|T_1\ge [/mm] k)$ zuordnet, ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Also gilt für jedes Ereignis $A$ unter Ausnutzung von [mm] $A\cap A^c=\emptyset$:
[/mm]
[mm] $P(A|T_1\ge k)+P(A^c|T_1\ge k)=P(A\cup A^c|T_1\ge k)=P(\Omega|T_1\ge [/mm] k)=1$.
Angewandt auf [mm] $A=\{T_a
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Vielen Dank, Tobias!
Zumindest Variante 1 hätte mir selbst einfallen müssen.
Meine stochastischen Grundlagen (Variante 2) sind in Ermangelung einer regelmäßigen Anwendung leider etwas eingestaubt. Aber es klingelt etwas, wenn ich das so lese :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mi 25.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al,
> Mit den Abkürzungen
>
> A: [mm]\ T_1
>
> B: [mm]\ T_1\ge k\ \wedge\ T_2\ge k[/mm]
>
> C: [mm]\ T_1\ge k\ \wedge\ T_2< k[/mm]
>
> wird hier behauptet, dass [mm]\ P(\,A\,|\,B\cup C\,)\ =\ P(\,A\,|\,B\,)\ +\ B(\,A\,|\,C\,)[/mm]
> ,
> wobei noch [mm]\ B\cap C\ =\ \{\ \}[/mm] (**) vorausgesetzt werden
> darf.
>
> Die behauptete Gleichung würde sicher zutreffen, falls
> wir außerdem wüssten, dass [mm]B\cup{C}=S[/mm] wäre (sicheres
> Ereignis), d.h. mit (**) zusammen, dass [mm]C=\overline{B}.[/mm]
Nein, auch dann würde die behauptete Gleichung i.A. nicht zutreffen. Auf Wunsch kann ich gerne ein Gegenbeispiel nennen, aber ich glaube, das findest du auch selbst...
Viele Grüße
Tobias
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Hi Tobias,
danke für die Fehlermeldung. Ich habe soeben
unter der Annahme, dass meine Behauptung
richtig sei, gezeigt, dass
[mm] $\frac{3}{7}+ \frac{1}{3}\ [/mm] =\ [mm] \frac{2}{5}$
[/mm]
Unter Zuhilfenahme meiner Kenntnisse aus der
(schätzungsweise) 5. Klasse kam ich dann zu
etwas verwirrenden Konsequenzen ... 
LG , Al
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