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Hallo , ich muss zu meinem Matheübungen aufzeigen das die Folge (an) beschränkt ist und ebenfalls [mm] an\le2 [/mm] ist ( durch Vollständige Induktion ).
Nur weiss ich nicht wie ich genau vorgehen soll.
Also die Folge ist wie folgt beschrieben bzw definiert :
a1 = 2 , an+1 = [mm] \wurzel{2+\wurzel{an}}
[/mm]
Würde mich ueber Hilfe freuen.
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Sa 25.10.2008 | | Autor: | glamcatol |
weiss da keiner bescheid? :)
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Hallo glamcatol und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo , ich muss zu meinem Matheübungen aufzeigen das die
> Folge (an) beschränkt ist und ebenfalls [mm]an\le2[/mm] ist ( durch
> Vollständige Induktion ).
>
> Nur weiss ich nicht wie ich genau vorgehen soll.
>
> Also die Folge ist wie folgt beschrieben bzw definiert :
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> a1 = 2 , an+1 = [mm]\wurzel{2+\wurzel{an}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Würde mich ueber Hilfe freuen.
Na, du hast doch schon geschrieben, wie es gehen soll:
Mit vollst. Induktion.
Schreibe es einfach hin, das ist ein Selbstläufer
Induktionsanfang: n=1
$a_1=2\le 2$ ist offensichtlich wahr
Induktionsschritt: n\to n+1
Induktionsvoraussetzung (IV): Sei $n\in\IN$ beliebig, aber fest und gelte $a_n\le 2$
zu zeigen ist, dass dann auch $a_{n+1}\le 2$ ist
Machen wir das: $a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}\le\sqrt{2+\sqrt{\red{2}}$ wegen der (IV) und des monotonen Wachstums der Wurzelfunktion
Und $\sqrt{2+\sqrt{2}}\le 2$
fertig
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> Mfg
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
vielen Dank schonmal
Nur habe ich noch eine Frage zu diesem Ausdruck
$ a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}\le\sqrt{2+\sqrt{\red{2}} $
( Haben jetzt "neu" das Thema deswegen etwas unsicher sorry :) )
a_{n+1} =\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}} das ja vorraus gesetzt.
Nun kommt die Ungleichung zustande weil a_{1} ja immer 2 ist und somit der "höchste" Wert der Folge oder? deswegen dann auch
$ a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}\le\sqrt{2+\sqrt{\red{2}} $ ?
Nur warum ist die Folge dann Wachsend wenn der folge Wert kleiner ist als der vorherige?
Desweiteren wollte ich fragen wie man das nun anstellt um aufzuzeigen das die Folge beschränkt ist.
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Hallo nochmal,
> Hi,
> vielen Dank schonmal
>
> Nur habe ich noch eine Frage zu diesem Ausdruck
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> [mm]a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}\le\sqrt{2+\sqrt{\red{2}}[/mm]
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> ( Haben jetzt "neu" das Thema deswegen etwas unsicher sorry
> :) )
>
> [mm]a_{n+1} =\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}[/mm] das ja vorraus gesetzt.
>
> Nun kommt die Ungleichung zustande weil [mm]a_{1}[/mm] ja immer 2
> ist und somit der "höchste" Wert der Folge oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kannst du nur sagen, wenn du (vorher) zeigst, dass die Folge monoton fallend ist, dann muss ja der erste Wert der größte sein 
Schaue dir unbedingt nochmal das Prinzip der vollständigen Induktion an!
Wir hatte in der Induktionsvoraussetzung angenommen, dass [mm] $a_n\le [/mm] 2$ gilt für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Dann mussten wir im Induktionsschritt auf n+1 zeigen, dass (unter der Induktionsvoraussetzung) gefälligst auch [mm] $a_{n+1}\le [/mm] 2$ ist
Dazu habe ich das [mm] $a_{n+1}$ [/mm] mit der gegebenen Definition geschrieben als [mm] $a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{a_n}}$
[/mm]
Auf das [mm] $a_n$ [/mm] kann man dann die Induktionsvoraussetzung, deren Gültigkeit wir ja angenommen haben, loslassen ...
> deswegen dann auch [mm]a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}\le\sqrt{2+\sqrt{\red{2}}[/mm] ?
Das gilt eben genau wegen der Annahme in der Induktionsvoraussetzung
>
> Nur warum ist die Folge dann Wachsend
Das hat keiner behauptet
> wenn der folge Wert kleiner ist als der vorherige?
Deine gegebene Folge [mm] $a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{a_n}}$ [/mm] mit [mm] $a_1=2$ [/mm] ist natürlich fallend, aber das war nicht die Aufgabenstellung.
Ich bezog mich auf die Monotonie der Wurzelfunktion [mm] $f:\IR^{+}_0\to\IR^+_0, x\mapsto\sqrt{x}$
[/mm]
Die ist monoton wachsend, so dass aus [mm] $x_1\le x_2$ [/mm] folgt [mm] $\sqrt{x_1}\le\sqrt{x_2}$
[/mm]
Also insbesondere gilt mit der IV [mm] $a_n\le [/mm] 2$ dann [mm] $\sqrt{a_n}\le\sqrt{2}$
[/mm]
Das ergibt dann im weiteren die obige Abschätzung
> Desweiteren wollte ich fragen wie man das nun anstellt um
> aufzuzeigen das die Folge beschränkt ist.
Nun, nach oben ist sie durch 2 beschränkt, das haben wir nachgewiesen.
Aufgrund der reinen Definition als Wurzelausdruck, kannst du doch auch direkt sagen, dass deine Folge durch 0 nach unten beschränkt ist.
Jedes Folgenglied ist doch sicher [mm] $\ge [/mm] 0$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Sa 25.10.2008 | | Autor: | glamcatol |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ach super, mir wurde ( nachdem ich das geschrieben hatte leider erst ) auch deutlich das wenn a_{n} \le 2 gilt auch die $ a_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{\red{a_n}}}\le\sqrt{2+\sqrt{\red{2}} $ Ungleichung stimmen muss :)
wurd ja "nur" die Wurzel und das ganze gedöns drumherum gebaut.
Sind halt die ersten Übungen zu Berschränkheit usw von Folgen von daher bin ich mir da teils noch (sehr ) unsicher.
Danke Dir!
Mfg
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