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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Do 24.12.2009 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Erstmal schöne Feiertage vorweg :)
Also ich bin mit Wachstums- und Zerfallsprozessen beschäftigt.
Hier steht im Lambacher Schweizer (wer die alte Ausgabe hat auf seite 296/297) ein Beispiel. Ich versteh aber irgendwie nicht ganz was die da machen und wieso und anwenden geht dann schonmal sowieso nicht.
Hier das Beispiel:
Aufgabe:
Bei Auftreten gewisser Infektionskrankheiten verständigt der behandelnde Arzt das Gesundheitsamt, damit Vorsorge getroffen werden kann. Dort verfolgt man anhand der in den kommenden Tagen und Wochen neu auftretende Krankheitsfälle, ob und wie sich die Krankheit ausbreitet. Mathematisch stellt sich die Frage, wie man aufgrund der registrierten Neuerkrankungen auf das " Ausbreitungsgesetz" der Krankheit schließen kann.
Wir nehmen an, dass in einer Großstadt ein Virus grassiert. In der ersten Woche nach seinem Auftreten werden dem Gesundheitsamt 20 Krankheitsfälle gemeldet. In den folgenden Wochen steigt die Zahl der gemeldeten Neuerkrankungen wöchentlich um 10%.
a) Wir lange dauert es, wenn die Entwicklung anhält, bis wöchentlich mehr als 100 neue Krankheitsfälle gemeldet werden?
Lösung im Buch: Um die Methoden der Analysis anwenden zu können, nehmen wir an, dass sich die Zahl z(t) der Neuerkrankungen mit der Zeit (in Wochen) stetig ändert. Bricht die Krankheit zur Zeit t=0 aus, so gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit z(t) und [mm] t\ge [/mm] 1 eine Gesetzmäßigkeit der Form z(t)=z(0) * [mm] e^{ln(1,1)t}
[/mm]
Dies gilt jedoch nicht für [mm] 0\le [/mm] t<1 ( da zur Zeit t=0 noch keine Neuerkrankungen gemeldet sind). Der Fakto z(0) ist vielmehr so zu bestimmen, dass zum Zeitpunkt t=1 die Gesamtzahl der Erkrankten 20 beträgt, d.h. dass
[mm] \integral_{0}^{1}{z(0)*e^{ln1,1)t} dt} [/mm] =20 oder
[mm] \bruch{z(0)}{0,0953} *(e^{0,0953t}) [/mm] =20 (es gibt hier keine eckigen Klammern, die Grenzen sind 0 und 1 bei dem e ausdruck) gilt. Man findet z(0)= 19,0621 und damit z(t) = [mm] 19,0621*e^{0,0953t} [/mm] für [mm] t\ge [/mm] 1.
Nun folgt aus 19,0621 [mm] *e^{0,0953t} [/mm] > 100: t> 17,4.
Also ist in der 18.ten Woche erstmal mit mehr als 100 Neuerkrankungen zu rechnen.
Ich lass jetzt erstmal nur die erste Teilaufgabe stehen. Die muss ich ja sowieso zuerst verstehen. Also auf die Zahlen komm ich. Die Rechenwege sind mir also klar. Mich interessiert das warum so und nicht anders. Warum kann ich das nicht wie ganz normale andere Funktionen auch rechnen... Bin etwas verwirrt durch das z(0) und z(t) usw.. Vielleicht kann mir das jemand kurz erläutern, warum das so gemacht werden muss und was der Unterschied zu den normalen Wachstumsprozessen ist. Wäre supernett, hab bald Abi und das ist vielleicht ein Thema :)
Vielen Dank schonmal und viele Grüße
Kerstin
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Hallo!
Das Problem ist, daß deine Funktion z(t) dir nicht die Anzahl der Kranken, sondern die Zunahme der Anzahl angibt.
Wenn du also wissen willst, wieviele Leute in einem Zeitraum t=a bis t=b hinzugekommen sind, summierst du die Neuinfektionen jeder Woche auf, bzw integrierst eben die Funktion: [mm] \int_a^bz(t)\,dt [/mm] .
Hier hat man das Problem, daß niemand weiß, wieviele Leute "am ersten Tag" krank waren, oder auch, wieviele Neuansteckungen es am ersten Tag gab. Man weiß nur, daß nach einer Woche bereits 20 Leute krank sind.
Mathematisch ist es logisch, daß die Anzahl der kranken nach einer Woche sich nach dem Gesetz [mm] \int_\infty^1z(t)\,dt [/mm] berechnet, denn NULL war die Anzahl der Kranken / neuerkrankten nach dem exponentiellen Modell ja vor unendlich langer Zeit.
In der Realen Welt ist es aber so, daß irgendwann mal irgendwer den Anfang gemacht haben muß, und vollständig krank war. Halb- viertel- oder hunderstel kranke Menschen gibt es nicht.
Und: Vor der ersten Woche war noch niemand krank, weil keine Erkrankungen gemeldet wurden.
Deshalb muß man mathematisch etwas tricksen: Da vorher anscheinend keiner krank war, müssen die 20 Leute in der ersten Woche krank geworden sein, also zwischen t=0 und t=1: [mm] \int_0^1z(t)\,dt [/mm] =20 . Daraus läßt sich [mm] z_0 [/mm] bestimmen.
Allerdings hat man da wie gesagt etwas mit dem Holzhammer drauf geschlagen, damit die e-Funktion paßt. Sowas ist allerdings oftmals nötig, wenn man ein mathematisches Modell in reale Daten einpassen will.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Fr 25.12.2009 | | Autor: | Kueken |
Danke für die tolle Antwort :)
Du kannst echt super erklären *g*
Viele Grüße
Kerstin
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