Ausdruck vereinfachen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:52 Do 01.12.2005 | | Autor: | pAt84 |
Hallo,
In einer Rechnung habe ich folgenden Ausdruck erhalten:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \summe_{k=0}^{n-i} (-1)^{k} a_{i} {n \choose i} {(n-i) \choose k} t^{k+i} [/mm]
Wie man sieht handelt es sich um ein Polynom. Ich würde diesen Ausdruck gern noch weiter vereinfachen und zwar dahingehend, dass ich die Koeffizienten vor jedem Grad des Polynoms erhalte. Momentan ist es ja so das sich zum Beispiel [mm] t^2 [/mm] (usw.) in der Gleichung wiederholt.
Wäre nett, wenn mir da jemand weiter helfen könnte. Ich habe an Substitution gedacht, komme aber nicht wirklich auf einen brauchbaren Ansatz.
Danke vielmals
Pat
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[mm]\sum_{i=0}^n~\sum_{k=0}^{n-i}~(-1)^k a_i {n \choose i} {{n-i} \choose k} t^{k+i} \ = \ \sum_{i=0}^n~\left( (-1)^i {n \choose i} \sum_{k=0}^i~(-1)^k a_k {i \choose k} \right) t^i[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:08 Fr 02.12.2005 | | Autor: | pAt84 |
Hallo,
tausend dank für die Antwort. Ich verstehe leider überhaupt nicht wie du dahin gekommen bist. Ich wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar.
Pat
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Am besten schreibt man sich das einmal alles ausführlich hin. Man stellt fest, daß es sich um ein dreieckiges Summationsschema handelt und muß jetzt von der Summation nach Zeilen auf die Summation nach Spalten wechseln:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ferner habe ich noch
[mm]{n \choose k}{{n-k} \choose {i-k}} = {n \choose i}{i \choose k}[/mm]
sowie [mm](-1)^{i-k} = (-1)^{i+k} = (-1)^i (-1)^k[/mm] verwendet. Die erste Gleichheit sieht man sofort ein, wenn man alle Binomialkoeffizienten mit Hilfe von Fakultäten ausschreibt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:37 Sa 03.12.2005 | | Autor: | pAt84 |
Super. Danke, du hast mir wirklich sehr geholfen!
Pat
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