Ausgeartete Bilinearform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 17.05.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Seien V ein reeler Vektrorraum und [mm] \mu: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] eine Bilinearform, so dass [mm] \mu(v,v) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V. Folgt dann [mm] \mu [/mm] = 0? |
Ich weiß ja, dass die Funktion ausgeartet ist da auch für Elemente die nicht 0 sind 0 rauskommt. Theoretisch könnte ich das auch beweisen, indem ich über den Dualraum gehe, aber damit habe ich ja nur den Beweis für die Ausartung. Ich kann doch da nicht schlussfolgern, dass das dann die Nullabbildung ist. Aus positiv Definietheit folgt ja "nicht ausgeartet", aber nicht andersherum oder doch? Sonst könnte ich ja mit der Definietheit der Funktion argumentieren.
Ansonsten sehe ich aber keinen Weg wie ich an die Lösung der Aufgabe rankommen kann.
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Stichwort: 2×2-Determinante. Fasse die Spalten der Determinante als Elemente des [mm]\mathbb{R}^2[/mm] auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 17.05.2011 | | Autor: | shadee |
Das heißt [mm] \mu(v,u) [/mm] = A = [mm] \pmat{ v_1 & u_1 \\ v_2 & u_2 } [/mm] und somit det A = [mm] v_1*u_2 [/mm] - [mm] u_1*v_2. [/mm] Ich bin mir nicht ganz sicher, was ich dadurch gewonnen habe, da ich den Tipp nicht richtige zu interpretieren scheine.
Was passiert, wenn ich [mm] \IR^3 [/mm] habe, dann krieg ich ja keine quadratische Matrix und somit keine Determinante mehr zusammen.
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Gemeint ist natürlich
[mm]\mu(u,v) = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}[/mm]
Und jetzt berechne [mm]\mu(u,u)[/mm]. Und die Aufgabe ist gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Mi 18.05.2011 | | Autor: | shadee |
Ah Tomaten auf den Augen. Ich hab zu sehr in die Richtung gedacht, dass ich es beweisen muss und nicht gemerkt, dass das ein Gegenbeispiel ist. Danke dir!
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