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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Ich bin ein bisschen verwirrt, was das lineare Ausgleichsproblem angeht.
In einem Buch, welches ich besitze steht:
Lineares Ausgleichsproblem:
Zu gegebenem A [mm] \in \mathbb R^{m \times n} [/mm] und b [mm] \in \mathbb R^n [/mm] bestimme man [mm] x^{\star} \in \mathbb R^n, [/mm] für das
[mm] ||Ax^{\star}-b||_2 [/mm] = min [mm] ||Ax-b||_2 [/mm] gilt.
Ich habe die starke Vermutung, dass b [mm] \in \mathbb R^m [/mm] gelten sollte, oder?
Sonst ließe sich meiner Meinung nach auch die Normalgleichung nicht lösen.
Was mich ferner ein bisschen verwirrt, ist:
[mm] A^T [/mm] Ax = [mm] A^T [/mm] b (Normalgleichung).
Die Normalgleichung ist immer lösbar. Die Lösung ist eindeutig, wenn Rang(A)=n gilt.
Jede Lösung von [mm] ||Ax^{\star}-b||_2 [/mm] = min [mm] ||Ax-b||_2 [/mm] gilt. erfüllt auch die Normalgleichung.
Soweit die Theorie, wie ich sie verstanden habe.
Man könnte sich ja jetzt fragen, ob [mm] ||Ax^{\star}-b||_2 [/mm] = min [mm] ||Ax-b||_2 [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] Ax^{\star} [/mm] = b gilt.
Eigentlich würde ich sagen "nein", weil das Gleichungssystem ja im allgemeinen gar nicht exakt lösbar ist.
Allerdings steht die Normalgleichung in unserem Skript auch einmal als:
[mm] A^TAx^{\star} [/mm] = A^Tb
Wenn ich jetzt von Links mit [mm] (A^{T})^{-1} [/mm] multipliziere, hätte ich da ja genau [mm] Ax^{\star} [/mm] = b stehen, was doch i.a. nicht möglich sein dürfte.
Versteht ihr mein Verständnisproblem?
Ich danke für Erklärungen! :)
Wimme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich bin ein bisschen verwirrt, was das lineare
> Ausgleichsproblem angeht.
> In einem Buch, welches ich besitze steht:
>
> Lineares Ausgleichsproblem:
> Zu gegebenem A [mm]\in \mathbb R^{m \times n}[/mm] und b [mm]\in \mathbb R^n[/mm]
> bestimme man [mm]x^{\star} \in \mathbb R^n,[/mm] für das
> [mm]||Ax^{\star}-b||_2[/mm] = min [mm]||Ax-b||_2[/mm] gilt.
>
> Ich habe die starke Vermutung, dass b [mm]\in \mathbb R^m[/mm]
> gelten sollte, oder?
Du hast recht.
> Sonst ließe sich meiner Meinung nach auch die
> Normalgleichung nicht lösen.
>
> Was mich ferner ein bisschen verwirrt, ist:
> [mm]A^T[/mm] Ax = [mm]A^T[/mm] b (Normalgleichung).
> Die Normalgleichung ist immer lösbar. Die Lösung ist
> eindeutig, wenn Rang(A)=n gilt.
> Jede Lösung von [mm]||Ax^{\star}-b||_2[/mm] = min [mm]||Ax-b||_2[/mm] gilt.
> erfüllt auch die Normalgleichung.
> Soweit die Theorie, wie ich sie verstanden habe.
>
> Man könnte sich ja jetzt fragen, ob [mm]||Ax^{\star}-b||_2[/mm] =
> min [mm]||Ax-b||_2[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]Ax^{\star}[/mm] = b gilt.
> Eigentlich würde ich sagen "nein", weil das
> Gleichungssystem ja im allgemeinen gar nicht exakt lösbar
> ist.
> Allerdings steht die Normalgleichung in unserem Skript auch
> einmal als:
>
> [mm]A^TAx^{\star}[/mm] = A^Tb
>
> Wenn ich jetzt von Links mit [mm](A^{T})^{-1}[/mm] multipliziere,
> hätte ich da ja genau [mm]Ax^{\star}[/mm] = b stehen, was doch i.a.
> nicht möglich sein dürfte.
>
> Versteht ihr mein Verständnisproblem?
Ja. A ist i.a. keine quadratische Matrix, also [mm] A^T [/mm] auch nicht. Also ist von Invertierbarkeit nicht die Rede. Auch wenn m=n ist muß A ( und [mm] A^T) [/mm] nicht invertierbar sein.
FRED
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> Ich danke für Erklärungen! :)
> Wimme
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