Auslaufendes Wassergefäß < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
folgende Frage:
Das Auslaufen eines Wassergefäßes mit senkrechten Wänden ist ein Vorgang, bei dem für ein zufällig ausgewähltes Wassermolekül die Zeit bis zum Auslaufen exponential verteilt ist. Der Erwartungswert für ein bestimmtes Gefäß sei 4 Minuten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das ausgewälte Molekül während der ersten 2 Minuten ausfließt ?
Nach welcher Zeit ist die Hälfe des Wassers ausgelaufen ?
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"die Zeit bis zum Auslaufen exponential verteilt ist"
Soll das heissen f(x) = x²
?
Wenn das der Fall ist wie bekomme ich dann die erste Wahrscheinlichkeit raus für die 2 minuten ?
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Hallo!
Eine Zufallsvariable heißt exponentialverteilt mit Erwartungswert [mm] $1/\lambda$, [/mm] wenn die Dichtefunktion folgendermaßen aussieht: $$ [mm] f_{\lambda}(x)=\lambda e^{-\lambda x}.$$
[/mm]
Die Verteilungsfunktion ist [mm] $$F(x)=1-e^{-\lambda x}.$$
[/mm]
Bei dir ist ja der Erwartungswert 4, also ist [mm] $\lambda=\bruch{1}{4}=0,25$.
[/mm]
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt ja immer die Wahrscheinlichkeit P(X<x) an.
X ist bei dir die Zeit, bis das Molekül aus dem Gefäß komplett ausgelaufen ist. (Glaub ich!)
Gesucht ist also [mm] $P(X<2)=F(2)=1-e^{-0,25* 2}=1-e^{-0,5}=1-0,6065=0,3935=39,35\%$.
[/mm]
So glaube ich es zumindest!
Jemand sollte das nochmal nachgucken.
-->Nach welcher Zeit ist die Hälfe des Wassers ausgelaufen ?
Da muss ich auch leider passen.
Hoffe, dir ein wenig weitergeholfen zu haben, vielleicht weiß wer anders mehr?
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Hi PaulPanther,
Polynomy hat dir ja schon die erste Frage erläutert, jetzt zur zweiten:
"Nach welcher Zeit ist die Hälfte des Wassers ausgelaufen?"
Idee: Wenn die Hälfte des Wassers ausgelaufen ist, muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgepicktes Wassermolekül noch im Gefäß ist, 50% sein. Also ist der Ansatz:
Gesucht ist der Zeitpunkt [mm]x[/mm], sodass
[mm]1-F(x)=0,5[/mm], also [mm]F(x)=0,5[/mm]. Diese Gleichung (mit eingesetzter Verteilungsfunktion F) einfach nach x auflösen, fertig!
mfg
Daniel
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