Ausrichtung Koordinatensysteme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 So 21.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
Hallo,
ich habe folgendes Problem bei dem ich Hilfe gebrauchen könnte.
In einem absoluten, kartesischen Koordinatensystem befindet sich ein zweites kartesisches Koordinatensystem. Die Ausrichtung der z-Achse dieses zweiten Koordinatensystems ist durch einen dreiteiligen Einheitsvektor, der sich auf das erste Koordinatensystem bezieht, gegeben.
Wie erhalte ich nun die Einheitsvektoren für die x, und y-Achse des zweiten Koordinatensystems bezogen auf das erste Koordinatensystem?(Hoffe es ist klar, was ich meine. Sonst schreiben)
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Hallo!
wenn du nur die z-Achse festlegst, kann das zweite Koordinatensystem noch beliebig um diese z-Achse gedreht sein, x- und y-Achse liegen in der Ebene senkrecht zu z.
Dazu brauchst du also noch informationen.
Und... haben die beiden Systeme den gleichen ursprung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:04 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
Guten Morgen,
das zweite Koordinatensystem soll erstmal nicht um die z-Achse gedreht sein.
DieKoordinatensysteme haben nicht denselben Ursprung. Die translatorische Verschiebung zum Ursprung des absoluten Koordinatensystems ist durch einen dreiteilligen Vektor bekannt.
Sind das alle nötigen Angaben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
ich schließe mich mal meinem Vorbeantworter an. Das sind nicht alle Informationen. Du hast doch praktisch nur den Ursprung [mm] (O_2) [/mm] und die z-Achse des 2. Systems. Da gibt es aber unendlich viele Möglichkeiten, wo die x-Achse liegen könnte. (Nämlich irgendwo in der Ebene durch [mm] O_2, [/mm] die senkrecht zur z-Achse ist - diese Ebene kannst du ja mal ausrechnen)
Grüße,
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Hallo!
Genau. Um es noch etwas klarer zu machen:
Wir lassen die Verschiebung des Ursprungs mal sein.
Um das alte Koordinatensystem ins neue zu überführen, kannst du die Achsen zunächst um [mm] \beta [/mm] um die x-Achse rotieren, und dann um [mm] \alpha [/mm] um die y-Achse.
Die Lage der neuen Koordinatenachsen [mm] \vec{e}_i [/mm] in Bezug auf die alten ergibt sich dann aus:
$ [mm] \pmat{ \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha }*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & \sin \beta & \cos \beta}*\vec{e}_i$
[/mm]
ODER:
Drehe erst um die y-Achse und dann um die x-Achse:
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & \sin \beta & \cos \beta} *\pmat{ \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha }*\vec{e}_i$
[/mm]
Generell sind Matrizen nicht kommutativ, das heißt [mm] $AB\neq [/mm] BA$ . Das wirst du auch bei diesen beiden feststellen, und daher liefern beide Methoden unterschiedliche neue Koordinatensysteme.
Es fehlt also noch was.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo, ich meine so etwas. Das obere ist das 1. Koordinatensystem. Anschließend wird für das 2. Koordinatensystem die Ausrichtung der z-Achse verändert. Die neue Ausrichtung des z-Achse ist bekannt. Hierüber muss ich dann doch auch die neue Ausrichtung der x- und y-Achse bestimmen können. (Ist doch das gleiche als wenn drei Stifte miteinander an einem Ende verbunden sind, man einen Stift dreht und sich die Ausrichtung der anderen Stifte daraus ergibt)Oder was ist mein Denkfehler?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 22.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo, ich meine so etwas. Das obere ist das 1.
> Koordinatensystem. Anschließend wird für das 2.
> Koordinatensystem die Ausrichtung der z-Achse verändert.
> Die neue Ausrichtung des z-Achse ist bekannt. Hierüber
> muss ich dann doch auch die neue Ausrichtung der x- und
> y-Achse bestimmen können.
Nein, denn es gibt unendlich viele Möglichkeiten, wie du von der Position der z-Achse im 1. K-System auf die Position der z-Achse im 2. K-System kommst. Diese Möglichkeiten unterscheiden sich durch zusätzliche Drehungen um die z-Achse (alte oder neue ist egal).
> (Ist doch das gleiche als wenn
> drei Stifte miteinander an einem Ende verbunden sind, man
> einen Stift dreht und sich die Ausrichtung der anderen
> Stifte daraus ergibt)Oder was ist mein Denkfehler?
Nein, denn in deinem zweiten Beispiel legst du die Drehachse fest, sodass zusammen mit dem Drehwinkel das Ergebnis der Drehung festliegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
Nein, denn es gibt unendlich viele Möglichkeiten, wie du von der Position der z-Achse im 1. K-System auf die Position der z-Achse im 2. K-System kommst. Diese Möglichkeiten unterscheiden sich durch zusätzliche Drehungen um die z-Achse (alte oder neue ist egal).
Wäre eine eindeutige Bestimmung der Achsen des 2.KS gegeben, wenn ich sage, dass keine Drehung um die z-Achse stattfindet?
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Hallo!
Nee, so ist das nicht gemeint. Betrachte mein Beispiel. Du kannst zuerst um x und dann um y drehen, oder genau umgekehrt zuerst um y, und dann um x drehen.
In beiden Fällen bekommst du unterschiedliche Koordinatensysteme raus. Ihre z-Achse ist zwar per Definition identisch, aber die anderen Achsen nicht. Sie sind durch eine zusätzliche Drehung um z ineinander überführbar.
Aber ich habe noch einen anderen Vorschlag für dich. Man kann das Koordinatensystem auch nur ein einziges mal direkt in die neue Richtung drehen. Die Abbildung dafür ist etwas länglich (und ich bin froh, daß man Wikipediaformeln direkt hier rein kopieren kann):
[mm] \pmat{ \cos \alpha +v_1^2 \left(1-\cos \alpha\right) & v_1 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) - v_3 \sin \alpha & v_1 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) + v_2 \sin \alpha \\ v_2 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) + v_3 \sin \alpha & \cos \alpha + v_2^2\left(1-\cos \alpha\right) & v_2 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) - v_1 \sin \alpha \\ v_3 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) - v_2 \sin \alpha & v_3 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) + v_1 \sin \alpha & \cos \alpha + v_3^2\left(1-\cos \alpha\right) } [/mm]
Dabei ist [mm] \vec{v} [/mm] ein Einheitsvektor, der die Richtung der Drehachse anzeigt, und [mm] \alpha [/mm] eben der Winkel.
Vielleicht ist das die Lösung, die du suchst, aber wie gesagt, EINDEUTIG ist ist die Lösung zu deiner Frage nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Di 23.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
Hallo,
wo finde ich diese Formel denn bei wikipedia?
Hintergrund meines Problems: Ich habe in einem CAD-System ein Körper mit einem kartesischen-KS. Dieses Körper-KS hat eine z-Achse deren Ausrichtung durch einen auf das absolute kartesische-KS bezogenen Einheitsvektor beschrieben ist. Es findet Keine Drehung um die z-Achse statt. Nun muss ich irgendwie die Einheitsvektoren für die x- und y-Achse des Körper-KS finden.
Ich habe also eigentlich auch keinen Drehwinkel gegeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Di 23.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wo finde ich diese Formel denn bei wikipedia?
Such nach dem Begriff ![[]](/images/popup.gif) Drehmatrix
> Hintergrund meines Problems: Ich habe in einem CAD-System
> ein Körper mit einem kartesischen-KS. Dieses Körper-KS
> hat eine z-Achse deren Ausrichtung durch einen auf das
> absolute kartesische-KS bezogenen Einheitsvektor
> beschrieben ist. Es findet Keine Drehung um die z-Achse
> statt. Nun muss ich irgendwie die Einheitsvektoren für die
> x- und y-Achse des Körper-KS finden.
> Ich habe also eigentlich auch keinen Drehwinkel gegeben.
Dann ist das Problem nicht eindeutig bestimmt. Betrachte die Ebene [mm] $E_1$, [/mm] in der die z-Achse des absoluten KS und die z-Achse des Körper-KS liegen. Du kannst zum Beispiel um die Normale auf diese Ebene drehen, dann ist der Drehwinkel der Winkel zwischen den beiden z-Achsen. Oder du kannst um die Winkelhalbierende zwischen den beiden z-Achsen drehen, dann ist der Drehwinkel [mm] $\pi$. [/mm] Tatsächlich funktioniert es mit jeder Drehachse, die in der von der genannten Normalen und der Winkelhalbierenden aufgespannten Ebene liegt und durch den gemeinsamen Ursprung geht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 23.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
Hallo, ich hoffe ich nerve nicht inzwischen:) Habe noch mal nachgedacht.Mein Problem lässt sich auch so beschreiben.
Ich habe am Anfang zwei kartesische Koordinatensysteme, die kongruent liegen. Nun wird das zweite Koordinatensystem gedreht. Die Ausrichtung der z-Achse des zweiten KS ist nach der Veränderung durch einen Einheitsvektor bekannt. Es findet nur eine Drehung um die x-und y-Achse statt. Kann ich dann aus dem Einheitsvektor ausrechnen, um wie viel um die x-und y Achse gedreht wurde?
Anschließend könnte ich doch sagen, dass die Drehung der x-Achse in der x-z Ebene gleich der Drehung der z-Achse in derselben Ebene ist, oder?
Habe ich mich verständlich ausgedrückt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Mi 24.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm dir doch mal ein echtes 3-Bein aus Draht.
Leg ne neue Richtung für die Z-achse fest. jetz kannst du die erreichen, inden due ERST um die x-Achse drehst, dann um die y Achse. sieh dir an, wie das Ergebnis aussieht.
Dann dreh erst um die y- Achse, dann um die x- Achse. betrachte das Ergebnis.
schließlich dreh erst um eine Winkelhalbierend, dann um die dazu senkrechte.
Dann siehst du ein, dass das wirklich nicht eindeutig ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Sir_Knum |
Hallo,
ja okay beim 3d-Bein ist mir klar geworden, dass es mehrere Wege gibt die gewünschte Ausrichtung der z-Achse zu erreichen.
Aber gibt es keine Möglichkeit sich auf einen Weg zu beschränken?
Beispiel in 2d:
Zu Anfang:
Beide KS werden [mm] beschrieben:x-Achse=\vektor{1\\0}
[/mm]
[mm] y-Achse=\vektor{0\\1} [/mm]
Anschließend wird um 45° gedreht:
x'-Achse = [mm] \vektor{0,707\\0,707}
[/mm]
y'-Achse = [mm] \vektor{-0,707\\0,707} [/mm]
Wenn ich mir das ganze aufzeichne lege ich durch die Drehung der einen Achse die Lage der anderen Achse fest.
Gibt es keine Möglichkeit dies mathematisch zu beschreiben?
Also wie in 2d die Drehung funktioniert, habe ich herausgefunden. Werde es jetzt mal in 3d versuchen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mi 24.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wirklich in 2d kannst du ja nicht um eine Achse in 2d drehen, sondern nur um einen Punkt, bzw. eine Achse senkrecht zu einem 2d Raum, also im 3d
Natürlich kannst du eine Drehung der z- Achse per Beschluss durch die Komposition einer Drehung erst um die x- danach die y- Achse beschreiben. Es muss nur klar sein, dass du z.Bsp die 2 Drehungen nicht vertauschen kannst.
Gruss leduart
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