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| Aufgabe | | Sei [mm] \mu :\mathcal{P} (\Omega) [/mm] -> [mm] \IN_o [/mm] das Zählmass auf einer Menge [mm] \Omega. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] \mu [/mm] genau dann [mm] \sigma- [/mm] endlich ist, wenn [mm] \Omega [/mm] abzählbar ist. |
Hallo.
Ich benötige Hilfe bei der Aufgabe bzw. würd gern wissen, ob meine Überlegungen so richtig sind.
Also die Hinrichtung: Sei [mm] \mu [/mm] (Mass) [mm] \sigma-endlich. [/mm] Daraus folgt, dass es abzählbar viele Mengen A mit endlichem Mass gibt, deren Vereinigung [mm] \Omega [/mm] ist und daraus folgt doch direkt, dass [mm] \Omega [/mm] abzählbar(da wenn das Mass endlich ist, auch die abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen wieder endlich ist)
Zur Rückrichtung: Wenn [mm] \Omega [/mm] abzählbar, dann kann man die Elemente in [mm] \Omega [/mm] sortieren und folgt daraus nicht, dass es ein [mm] \Omega_i [/mm] gibt, was ein endliches Mas hat und was vereinigt wieder [mm] \Omega [/mm] ergibt?
Besonders bei der Rückrichtung bin ich mir unsicher, da ich ja eigentlich nichts gezeigt habe.
Lieben Gruß und vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mo 30.10.2017 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\mu :\mathcal{P} (\Omega)[/mm] -> [mm]\IN_o[/mm] das Zählmass auf
> einer Menge [mm]\Omega.[/mm] Beweisen Sie, dass [mm]\mu[/mm] genau dann
> [mm]\sigma-[/mm] endlich ist, wenn [mm]\Omega[/mm] abzählbar ist.
> Hallo.
> Ich benötige Hilfe bei der Aufgabe bzw. würd gern
> wissen, ob meine Überlegungen so richtig sind.
> Also die Hinrichtung: Sei [mm]\mu[/mm] (Mass) [mm]\sigma-endlich.[/mm]
> Daraus folgt, dass es abzählbar viele Mengen A mit
> endlichem Mass gibt, deren Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ist und
> daraus folgt doch direkt, dass [mm]\Omega[/mm] abzählbar(da wenn
> das Mass endlich ist, auch die abzählbare Vereinigung von
> endlichen Mengen wieder endlich ist)
Da läuft einiges verquer !
Sei [mm] \mu [/mm] ein [mm] \sigma [/mm] - endliches Maß, also gibt es eine Folge [mm] (A_n) [/mm] von Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] mit
[mm] \mu(A_n) [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle n und [mm] \Omega= \bigcup_{n \ge 1}A_n
[/mm]
Da [mm] \mu [/mm] das Zählmaß ist, ist jedes [mm] A_n [/mm] endlich (oder leer). Dann ist aber [mm] \Omega [/mm] höchstens abzählbar.
>
> Zur Rückrichtung: Wenn [mm]\Omega[/mm] abzählbar, dann kann man
> die Elemente in [mm]\Omega[/mm] sortieren und folgt daraus nicht,
> dass es ein [mm]\Omega_i[/mm] gibt, was ein endliches Mas hat und
> was vereinigt wieder [mm]\Omega[/mm] ergibt?
>
> Besonders bei der Rückrichtung bin ich mir unsicher, da
> ich ja eigentlich nichts gezeigt habe.
So ist es !
Sei [mm] \Omega [/mm] abzählbar, also [mm] \Omega=\{a_1,a_2,....\}.
[/mm]
Setze [mm] A_n:=\{a_1,...,a_n\} [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann haben wir: [mm] \mu(A_n) [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle n und [mm] \Omega= \bigcup_{n \ge 1}A_n
[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist also [mm] \sigma [/mm] - endlich.
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> Lieben Gruß und vielen Dank
>
> TheBozz-mismo
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Vielen Dank für die Hilfe. Jetzt erscheint es mir klarer.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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