Aussagen beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | $(V,+,K)$ sei ein Vektorraum über $K$ und seien $T,T' [mm] \subseteq [/mm] V$
Zeigen Sie:
a) Ist $T$ linear unabhängig und $T' [mm] \subseteq [/mm] T$, dann ist auch $T'$ linear unabhängig.
B)Ist $T$ linear abhängig und $T [mm] \subseteq [/mm] T'$, dann ist auch $T'$ linear unabhängig. |
zu a) Ich habe jetzt folgendes erst einmal aufgeschrieben:
sei $T$ linear unabhängig dann gilt:
[mm] $\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$
[/mm]
sei $T' [mm] \subseteq [/mm] T$ dann gilt:
[mm] $\forall [/mm] t [mm] \in [/mm] T$ gilt:
$t=k_1t'_1+k_2t'_2+...+k_nt'_n$
nun weiß ich allerdings nicht weiter.
Sollte ich nun in die obrige Gleichung für [mm] $t_1$ [/mm] $k_1t'_1+k_2t'_2+...+k_nt'_n$ einsetzen?
Ich hoffe mir kann jemand sagen, wie ich dies am besten beweisen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> zu a) Ich habe jetzt folgendes erst einmal
> aufgeschrieben:
> sei [mm]T[/mm] linear unabhängig dann gilt:
> [mm]\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/mm]
>
Bis hierhin alles super.
> sei [mm]T' \subseteq T[/mm] dann gilt:
> [mm]\forall t \in T[/mm] gilt:
> [mm]t=k_1t'_1+k_2t'_2+...+k_nt'_n[/mm]
>
Hier wird es falsch. Das gilt nicht immer. Die gute Nachricht ist aber, dass du das auch gar nicht brauchst. Du willst nun zeigen, dass T' auch linear unabhängig ist. Nimm dir also eine Gleichung der Form [mm] $\mu_1t_1'+...+\mu_kt_k'=0$. [/mm] Du willst nun [mm] $\mu_1=...=\mu_k=0$ [/mm] folgern. Nun sind doch aber die ganzen [mm] t_i' [/mm] in Wirklichkeit irgendwelche Elemente aus T. Also [mm] t_1'=t_{n(1)}, [/mm] ..., [mm] t_k'=t_{n(k)}. [/mm] Ist aber auch ganz egal wie die aussehen, die [mm] t_i' [/mm] liegen alle in T, also kannst du was folgern?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso dadraus kann man dann schlussfolgern, dass die Elemente in $T'$ auch alle linear unabhängig sind
Allerdings fehlt mir dazu der richtige "beweis" kann man das auch irgendwie zu 100% mathematisch ausdrücken? eventuell verstehe ich es dann noch ein wenig besser.
zu B)
Wenn T linear abhängig ist, muss es ja ein $t [mm] \in [/mm] T$ geben, dass sich als Linearkombination aus den anderen $t [mm] \in [/mm] T$ darstellen lässt.
Beispielsweise $ [mm] \lambda_k \not= [/mm] 0$
[mm] $\rightarrow t_k=(\frac{1}{-\lambda_k})(\lambda_1t_1+...+\lambda_{k-1}t_{k-1}+\lambda{k+1}t_{k+1}+...+\lambda_nt_n)$
[/mm]
Und wenn alle $t'$ Elemente in T sind, sind diese ja auch linear abhängig.
Allerdings fehlt mir da wieder der Mathematische beweis so richtig...ich glaube nicht, dass dies meinem Professor genügt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Duckx,
> Achso dadraus kann man dann schlussfolgern, dass die
> Elemente in [mm]T'[/mm] auch alle linear unabhängig sind
Langsamer. Zunächst einmal folgt nur [mm] $\mu_1=\ldots\mu_k=0$. [/mm] Aber genau das war für die lineare Unabhängigkeit von T' zu zeigen.
> Allerdings fehlt mir dazu der richtige "beweis" kann man
> das auch irgendwie zu 100% mathematisch ausdrücken?
> eventuell verstehe ich es dann noch ein wenig besser.
Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit von T', d.h. dass für alle paarweise verschiedenen (!) [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T'$ sowie alle [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k$ [/mm] mit [mm] $\mu_1t_1'+\ldots+\mu_kt_k'=0$ [/mm] bereits [mm] $\mu_1=\ldots=\mu_k=0$ [/mm] gilt.
Seien also solche [mm] $t_1',\ldots,t_k'$ [/mm] und [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k$ [/mm] gegeben.
Zu zeigen ist [mm] $\mu_1=\ldots=\mu_k=0$.
[/mm]
Wegen [mm] $T'\subseteq [/mm] T$ gilt [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T$. Da T linear unabhängig ist und die [mm] $t_1',\ldots,t_k'$ [/mm] paarweise verschieden sind, folgt aus [mm] $\mu_1t_1'+\ldots+\mu_kt_k'=0$ [/mm] bereits [mm] $\mu_1=\ldots=\mu_k=0$.
[/mm]
Passt das so zu eurer Definition einer linear unabhängigen Menge? Ansonsten poste bitte eure entsprechende Definition.
> zu B)
> Wenn T linear abhängig ist, muss es ja ein [mm]t \in T[/mm] geben,
> dass sich als Linearkombination aus den anderen [mm]t \in T[/mm]
> darstellen lässt.
> Beispielsweise [mm]\lambda_k \not= 0[/mm]
> [mm]\rightarrow t_k=(\frac{1}{-\lambda_k})(\lambda_1t_1+...+\lambda_{k-1}t_{k-1}+\lambda{k+1}t_{k+1}+...+\lambda_nt_n)[/mm]
>
> Und wenn alle [mm]t'[/mm] Elemente in T sind, sind diese ja auch
> linear abhängig.
> Allerdings fehlt mir da wieder der Mathematische beweis so
> richtig...ich glaube nicht, dass dies meinem Professor
> genügt.
Um deinen Ansatz aufzugreifen:
Wegen der linearen Abhängigkeit von T existieren paarweise verschiedene [mm] $t_0,t_1,\ldots,t_k\in [/mm] T$ und gewisse [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in [/mm] K$ mit
(*) [mm] $t_0=\lambda_1t_1+\ldots+\lambda_kt_k$.
[/mm]
Wegen [mm] $T\subseteq [/mm] T'$ gilt [mm] $t_0,t_1,\ldots,t_k\in [/mm] T'$. Aus (*) folgt somit die lineare Abhängigkeit von T'.
Alternativ lässt sich b) auf a) zurückführen:
Angenommen T' linear unabhängig, so wäre nach a) auch T linear unabhängig. Da das nicht der Fall ist, war die Annahme T' linear unabhängig falsch und T' ist linear abhängig.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok also nochmal zusammenfassend zu a)
T ist linear unabghänig das bedeutet laut unserer Definiton:
$ [mm] \lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0 [/mm] $
und $T' [mm] \subseteq [/mm] T$
daraus habt ihr nun geschlussfolgert:
[mm] $t_1,t_2,...,t_n \in [/mm] T'$
Unsere Definition ist allerdings:
Dass sich jeder Vektor $t [mm] \in [/mm] T$ als Linearkombination aus den Elementen von $T'$ darstellen lässt.
also [mm] $t=\mu_1t'_1,...,\mu_kt'_k$
[/mm]
Aber daraus kann ich ja nicht gleich schließen, dass [mm] $t_1=t'_1$ [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok also nochmal zusammenfassend zu a)
> T ist linear unabghänig das bedeutet laut unserer
> Definiton:
> [mm]\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0[/mm]
für paarweise verschiedene [mm] $t_i\in [/mm] T$
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/mm]
Genau. Und das setzen wir voraus.
Was wollen wir zeigen?
> und [mm]T' \subseteq T[/mm]
> daraus habt ihr nun geschlussfolgert:
> [mm]t_1,t_2,...,t_n \in T'[/mm]
Nein. [mm] $T'\subseteq [/mm] T$ bedeutet, dass alle Elemente von T' auch Elemente von T sind, nicht umgekehrt.
> Unsere Definition ist allerdings:
> Dass sich jeder Vektor [mm]t \in T[/mm] als Linearkombination aus
> den Elementen von [mm]T'[/mm] darstellen lässt.
Wie kommst du darauf? Das muss nicht gelten.
> also [mm]t=\mu_1t'_1,...,\mu_kt'_k[/mm]
> Aber daraus kann ich ja nicht gleich schließen, dass
> [mm]t_1=t'_1[/mm] ist?
Was sollen jeweils t, die [mm] $t_i$ [/mm] und die [mm] $t_i'$ [/mm] sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
$t'$ sind die Elemente in $T'$
und $t$ die in $T$
Ich dachte immer bei $T' [mm] \subseteq [/mm] T$ sind alle Elemente von $T'$ auch Elemente von $T$ und umgekehrt.
Und bei $T' [mm] \subset [/mm] T$ sind alle Elemente von $T'$ auch Elemente von $T$ aber eben nicht alle von $T$ auch Elemente von $T'$ ?
Ah ok ich habe mich wohl vertan oder? Die Definition ist die Definition für ein erzeugendensystem nicht wahr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]t'[/mm] sind die Elemente in [mm]T'[/mm]
> und [mm]t[/mm] die in [mm]T[/mm]
> Ich dachte immer bei [mm]T' \subseteq T[/mm] sind alle Elemente von
> [mm]T'[/mm] auch Elemente von [mm]T[/mm] und umgekehrt.
Nein. Wenn alle Elemente von T' auch Elemente von T sind und umgekehrt, so gilt schon $T=T'$. Bei [mm] $T'\subseteq [/mm] T$ wissen wir nicht, ob alle Elemente von $T$ auch Elemente von $T'$ sind.
> Und bei [mm]T' \subset T[/mm] sind alle Elemente von [mm]T'[/mm] auch
> Elemente von [mm]T[/mm] aber eben nicht alle von [mm]T[/mm] auch Elemente von
> [mm]T'[/mm] ?
[mm] $T'\subseteq [/mm] T$ bedeutet: [mm] $T'\subset [/mm] T$ oder $T=T'$.
(So ähnlich wie [mm] $\le$ [/mm] bedeutet: $<$ oder $=$).
> Ah ok ich habe mich wohl vertan oder? Die Definition ist
> die Definition für ein erzeugendensystem nicht wahr?
Wenn T ein Untervektorraum von V wäre, hättest du offenbar die Definition von "T' ein Erzeugendensystem von T" benutzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
T ist linear unabhängig das bedeutet laut unserer Definiton:
$ [mm] \lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0 [/mm] $
Wegen $T' [mm] \subseteq [/mm] T$ gilt: [mm] $t_1,t_2,...,t_n \in [/mm] T'$
Ich soll nun beweisen, dass [mm] $\mu_1t'_1+\mu_2t'_2+...+\mu_kt'_k=0$
[/mm]
[mm] $\rightarrow \mu_1=\mu_2=...=\mu_k=0$
[/mm]
Tut mir leid, aber weiter komme ich einfach nicht.
Kann mir das jemand vielleicht noch einmal genauer erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> T ist linear unabhängig das bedeutet laut unserer
> Definiton:
> [mm]\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/mm]
Nicht für IRGENDWELCHE [mm] $t_1,\ldots,t_n\in [/mm] T$ und [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in [/mm] K$ soll das gelten, sondern für ALLE paarweise verschiedenen [mm] $t_1,\ldots,t_n\in [/mm] T$ und alle [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in [/mm] K$. Das steht sicher so in eurer Definition.
Nochmal ausformuliert, was die Definition von $T$ linear unabhängig besagt:
Für ALLE paarweise verschiedenen Vektoren [mm] $t_1,\ldots,t_n\in [/mm] T$ und ALLE Körperelemente [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in [/mm] K$ gilt: Wenn [mm] $\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n=0$ [/mm] gilt, so ist schon [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_n=0$.
[/mm]
> Wegen [mm]T' \subseteq T[/mm] gilt: [mm]t_1,t_2,...,t_n \in T'[/mm]
Nein. Aus [mm] $T'\subseteq [/mm] T$ folgt nicht, dass alle [mm] $t\in [/mm] T$ auch in $T'$ liegen. Das habe ich schoneinmal erklärt.
> Ich soll nun beweisen, dass
> [mm]\mu_1t'_1+\mu_2t'_2+...+\mu_kt'_k=0[/mm]
> [mm]\rightarrow \mu_1=\mu_2=...=\mu_k=0[/mm]
(Wieder für alle paarweise verschiedenen [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T'$ und alle [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k\in [/mm] T'$ und alle [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k\in [/mm] T'$.)
Genau. Damit bist du einen Schritt weiter, denn daraus ergibt sich, was zu tun ist:
Wir betrachten beliebig vorgegebene paarweise verschiedene [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T'$ und beliebig vorgegebene [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k\in [/mm] K$ mit
(*) [mm] $\mu_1t'_1+\mu_2t'_2+...+\mu_kt'_k=0$.
[/mm]
und müssen [mm] $\mu_1=\mu_2\ldots=\mu_k=0$ [/mm] zeigen.
Wenn uns das gelungen ist, ist der Beweis der linearen Unabhängigkeit von T' erbracht.
Soweit alles klar?
Wegen [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T'$ und [mm] $T'\subseteq [/mm] T$ gilt auch [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T$.
Auch noch klar?
Nun haben wir also Vektoren [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T$ und Körperelemente [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k$. [/mm] Die Definition von T linear unabhängig machte eine Aussage über ALLE Vektoren [mm] $t_1,\ldots,t_n\in [/mm] T$ und ALLE Körperelemente [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in [/mm] K$. Insbesondere gilt diese Aussage für UNSERE Vektoren [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T$ und UNSERE Körperelemente [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k$. [/mm] Die Aussage lautet für unsere [mm] $t_1',\ldots,t_k'$ [/mm] und unsere [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_k$: [/mm] Wenn [mm] $\mu_1t_1'+\ldots+\mu_kt_k'=0$ [/mm] gilt, so ist schon [mm] $\mu_1=\ldots=\mu_k=0$.
[/mm]
Bist du noch dabei?
Es gilt aber [mm] $\mu_1t_1'+\ldots+\mu_kt_k'=0$ [/mm] nach unserer Annahme (*), mit der wir gestartet waren. Also gilt [mm] $\mu_1=\ldots=\mu_k=0$. [/mm] Und genau das war zu zeigen!
Jetzt klarer?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso ok ich glaube ich habe es Verstanden aber um auf Nummer sicher zu gehen:
setzen wir [mm] $t'_{k+1}=t_n$
[/mm]
Da $T$ linear unabhängig gilt ja
für alle paarweise verschiedenen Vektoren [mm] $\t_1,t_2,...,t_n \in [/mm] T$ (was genau bedeutet dieses paarweise verschieden?)
[mm] $0=\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n$
[/mm]
[mm] $\rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$
[/mm]
Laut deinem Ansatz könnte ich also auch schreiben:
[mm] $0=\lambda_1t'_1+\lambda_2t'_2+...+\lambda_kt'_k+\lambda_nt_n$ [/mm] ja?
Da das nur gilt, wenn [mm] $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_k=\lambda_n=0$
[/mm]
Muss auch $T'$ linear unabhängig sein.
Kann man das so als Beweis auffassen?
Hab ich das nun richtig verstanden oder liege ich schon wieder daneben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Achso ok ich glaube ich habe es Verstanden aber um auf
> Nummer sicher zu gehen:
>
> setzen wir [mm]t'_{k+1}=t_n[/mm]
Wo kommt [mm] $t_n$ [/mm] auf einmal her?
> Da [mm]T[/mm] linear unabhängig gilt ja
> für alle paarweise verschiedenen Vektoren
> [mm]\t_1,t_2,...,t_n \in T[/mm] (was genau bedeutet dieses paarweise
> verschieden?)
Das bedeutet [mm] $t_1\not=t_2$, $t_5\not=t_8$, [/mm] usw. Genauer gesagt: Es bedeutet [mm] $t_i\not=t_j$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$. [/mm] Mit anderen Worten: Kein Vektor taucht in der Auflistung [mm] $t_1,\ldots,t_k$ [/mm] mehrfach auf.
Würde man das "paarweise verschieden" in der Definition der linearen Unabhängigkeit einer Menge einfach weglassen, so wären alle nichtleeren Teilmengen [mm] $T\subseteq [/mm] V$ linear abhängig: Man nehme einfach irgendein [mm] $t\in [/mm] T$. Dann gilt $1*t+(-1)*t=0$, ohne dass $1=-1=0$ gilt. Also wäre T tatsächlich linear abhängig. Um so etwas zu verhindern, verlangt man nur für paarweise verschiedene [mm] $t_1,\ldots,t_n$ [/mm] etwas.
> [mm]0=\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+...+\lambda_nt_n[/mm]
> [mm]\rightarrow \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/mm]
>
> Laut deinem Ansatz könnte ich also auch schreiben:
>
> [mm]0=\lambda_1t'_1+\lambda_2t'_2+...+\lambda_kt'_k+\lambda_nt_n[/mm]
> ja?
Ich weiß nicht, was du mit [mm] $\lambda_n$ [/mm] und [mm] $t_n$ [/mm] bezeichnest. Meinst du jeweils [mm] $\mu_i$ [/mm] statt [mm] $\lambda_i$? [/mm] Denn konkrete [mm] $\lambda_i$ [/mm] kamen in meinem letzten Beweis gar nicht vor.
> Da das nur gilt, wenn
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_k=\lambda_n=0[/mm]
Wenn [mm] $t_n\in [/mm] T$ gilt, [mm] t_n [/mm] verschieden von allen [mm] $t_1,\ldots,t_k$ [/mm] ist und [mm] $0=\lambda_1t'_1+\lambda_2t'_2+...+\lambda_kt'_k+\lambda_nt_n$ [/mm] gilt, stimmt diese Folgerung.
> Muss auch [mm]T'[/mm] linear unabhängig sein.
> Kann man das so als Beweis auffassen?
Für sich genommen nicht. Da fehlt die Erklärung, was [mm] $t_1',\ldots,t_k'$ [/mm] und [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ [/mm] sein sollen und das Argument, das [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in [/mm] T$ gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich bin jetzt einfach davon ausgegangen wie du gesagt hast dass $t'_1,t'_2,...,t'_k [mm] \in [/mm] T$
kann ich zum beispiel [mm] $t_1$ [/mm] durch $t'_1$ usw. ersetzen:
also wäre ja:
[mm] $\lambda_1t'_1+...+\lambda_nt_n=0$
[/mm]
wenn [mm] \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0
[/mm]
Und damit wäre auch $T'$ linear unabhängig.
Allerdings bin ich mir nicht genau sicher, ob es das ist, was du mir beibringen wolltest.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich bin jetzt einfach davon ausgegangen wie du gesagt hast
> dass [mm]t'_1,t'_2,...,t'_k \in T[/mm]
Naja, gestartet waren wir mit beliebig vorgegebenen p.w. verschiedenen [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in \blue{T'}$. [/mm] Mussten wir ja auch, denn unsere Behauptung ist, dass etwas für alle p.w. verschiedenen [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in \blue{T'}$ [/mm] gilt. Unterwegs haben wir dann [mm] $t_1',\ldots,t_k'\in \green{T}$ [/mm] gezeigt.
> kann ich zum beispiel [mm]t_1[/mm] durch [mm]t'_1[/mm] usw. ersetzen:
>
> also wäre ja:
> [mm]\lambda_1t'_1+...+\lambda_nt_n=0[/mm]
> wenn [mm]\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/mm]
Was für alle [mm] $t_i\in [/mm] T$ gilt, gilt erst recht für alle [mm] $t_i'\in [/mm] T'$. Denn alle [mm] $t_i'\in [/mm] T'$ liegen in $T$ (wegen [mm] $T'\subseteq [/mm] T$).
Vielleicht hilft dir folgendes Beispiel:
Sei $S$ die Menge aller Studenten aus Münster, $S'$ die Menge aller Mathe-Studenten aus Münster. Dann gilt [mm] $S'\subseteq [/mm] S$.
Nehmen wir mal an, alle Studenten aus Münster sind fleißig. Dann sind erst recht alle Mathe-Studenten aus Münster fleißig.
Etwas formaler notiert: Wenn alle [mm] $s\in [/mm] S$ fleißig sind, so sind erst recht alle [mm] $s'\in [/mm] S'$ fleißig.
Genauso geht das für jede Teilmenge [mm] $S'\subseteq [/mm] S$ anstelle der Menge aller Mathe-Studenten aus Münster.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso ja genau das habe ich versucht mit meinem kauderwelsch auszudrücken :) danke für die Geduld und Hilfe
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