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Aussagenlogik: Äquivalenzumformung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Di 26.07.2011
Autor: DARKMAN_X

Aufgabe
Gegeben seien die folgenden aussagenlogische Formeln:
F = [mm] \neg(A \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \gdw [/mm] C)
und
G = A [mm] \wedge \neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C

Wandeln Sie beide Formeln mit Hilfe der Aquivalenzgesetze ineinander um. Geben Sie bei jeder Umformung das verwendete Aquivalenzgesetz an.

F = [mm] \neg(A \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \gdw [/mm] C)
= [mm] \neg (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ((A [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \wedge \neg [/mm] C))

Wende nun das Distributivitätsgesetzt an

= (A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ((A [mm] \vee \neg [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \vee \neg [/mm] C) [mm] \wedge [/mm] (C [mm] \vee \neg [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (C [mm] \vee \neg [/mm] C))

So jetzt kürze ich...

= (A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ((A [mm] \vee \neg [/mm] C) [mm] \wedge [/mm] (C [mm] \vee \neg [/mm] A))

So ab hier komme ich dann irgendwie nicht mehr weiter...

Würde mich über eure Antworten freuen.
Danke im Vorraus.
Diese Frage wurde in keinem anderem Forun gestellt.

MfG
[mm] DARKMAN_X [/mm]
        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Di 26.07.2011
Autor: Sigrid

Hallo [mm] Darkmann_X [/mm]


> Gegeben seien die folgenden aussagenlogische Formeln:
>  F = [mm]\neg(A \Rightarrow[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\gdw[/mm] C)
> und
> G = A [mm]\wedge \neg[/mm] B [mm]\wedge[/mm] C
>  
> Wandeln Sie beide Formeln mit Hilfe der Aquivalenzgesetze
> ineinander um. Geben Sie bei jeder Umformung das verwendete
> Aquivalenzgesetz an.
>  F = [mm]\neg(A \Rightarrow[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\gdw[/mm] C)
> = [mm]\neg (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ((A [mm]\wedge[/mm] C) [mm]\vee (\neg[/mm] A
> [mm]\wedge \neg[/mm] C))


(A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ((A [mm]\wedge[/mm] C) [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\wedge \neg[/mm] C))

So weit hattest Du es ja auch
Jetzt wende das Distributivgesetz an, aber nicht die Richtung, die Du gewählt hast.

[(A [mm]\wedge \neg[/mm] B) ) [mm]\wedge [/mm] (A [mm]\wedge[/mm] C)] [mm]\vee[/mm] [(A [mm]\wedge \neg[/mm] B) ) [mm]\wedge [/mm] ( [mm] \neg [/mm] A [mm]\wedge[/mm] [mm] \neg [/mm] C)]

Jetzt bist Du fast fertig.

Gruß
Sigrid




>  
> Wende nun das Distributivitätsgesetzt an
>  
> = (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ((A [mm]\vee \neg[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\vee \neg[/mm]
> C) [mm]\wedge[/mm] (C [mm]\vee \neg[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (C [mm]\vee \neg[/mm] C))
>  
> So jetzt kürze ich...
>  
> = (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ((A [mm]\vee \neg[/mm] C) [mm]\wedge[/mm] (C [mm]\vee \neg[/mm]
> A))
>  
> So ab hier komme ich dann irgendwie nicht mehr weiter...
>  
> Würde mich über eure Antworten freuen.
>  Danke im Vorraus.
>  Diese Frage wurde in keinem anderem Forun gestellt.
>  
> MfG
>  [mm]DARKMAN_X[/mm]  

Bezug
                
Bezug
Aussagenlogik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Di 26.07.2011
Autor: DARKMAN_X

Danke für die schnelle Antwort.

[mm] [(A\wedge \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] C)] [mm] \vee [/mm] [(A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \wedge \neg [/mm] C)]

Das kommt bei raus wenn ich die innerhalb der eckigen Klammern multipliziere....

[(A [mm] \wedge [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C)] [mm] \vee [/mm] [(A [mm] \wedge \neg [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] C) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \wedge \neg [/mm] C)]

Das kommt bei raus...
Weiss leider jetzt nicht mehr weiter...
Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Di 26.07.2011
Autor: Sigrid

Hallo [mm] DARKMAN_X [/mm]

> Danke für die schnelle Antwort.
>  
> [mm][(A\wedge \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] C)] [mm]\vee[/mm] [(A [mm]\wedge \neg[/mm]
> B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\wedge \neg[/mm] C)]
>
> Das kommt bei raus wenn ich die innerhalb der eckigen
> Klammern multipliziere....

Vorsicht, Jetzt greift das Assoziativgesetz. Du hast innerhalb der Eckigen Klammern nur noch die Verknüpfung  [mm]\wedge [/mm]

Gruß
Sigrid
>  
> [(A [mm]\wedge[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] C) [mm]\wedge (\neg[/mm] B [mm]\wedge[/mm] C)]
> [mm]\vee[/mm] [(A [mm]\wedge \neg[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\wedge \neg[/mm] C) [mm]\wedge (\neg[/mm]
> B [mm]\wedge[/mm] A) [mm]\wedge (\neg[/mm] B [mm]\wedge \neg[/mm] C)]
>  
> Das kommt bei raus...
>  Weiss leider jetzt nicht mehr weiter...

Bezug
                                
Bezug
Aussagenlogik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Di 26.07.2011
Autor: DARKMAN_X

Tut mir leid...Ich komme immer noch nicht dadrauf...Verstehe das einfach nicht...

Die Assoziativität besagt:

((F [mm] \wedge [/mm] G) [mm] \wedge [/mm] H) [mm] \equiv [/mm] (F [mm] \wedge [/mm] (G [mm] \wedge [/mm] H))
((F [mm] \vee [/mm] G) [mm] \vee [/mm] H) [mm] \equiv [/mm] (F [mm] \vee [/mm] (G [mm] \vee [/mm] H))

So nun weiß ich jetzt nicht, wie ich es hier anwenden soll...

[(A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] C)] [mm] \vee [/mm] [(A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \wedge \neg [/mm] B)]


Bezug
                                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Di 26.07.2011
Autor: Sigrid

Hallo,

> Tut mir leid...Ich komme immer noch nicht
> dadrauf...Verstehe das einfach nicht...
>  
> Die Assoziativität besagt:
>  
> ((F [mm]\wedge[/mm] G) [mm]\wedge[/mm] H) [mm]\equiv[/mm] (F [mm]\wedge[/mm] (G [mm]\wedge[/mm] H))
>  ((F [mm]\vee[/mm] G) [mm]\vee[/mm] H) [mm]\equiv[/mm] (F [mm]\vee[/mm] (G [mm]\vee[/mm] H))
>
> So nun weiß ich jetzt nicht, wie ich es hier anwenden
> soll...
>  
> [(A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] C)] [mm]\vee[/mm] [(A [mm]\wedge \neg[/mm]
> B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\wedge \neg[/mm] B)]
>  
>  

Du hast recht, Du brauchst natürlich auch noch das Kommutativgesetz. Jetzt ist die Frage, wie genau Du jeden Schritt belegen musst. Wenn Du mehrere Schritte auf einmal durchführen darfst, kannst Du einfach die runden Klammern weglassen und dann geeignet umstellen.
Wenn Du jeden Schritt blegen musst, wirds etwas aufwendiger. Ich zeig mal den Anfang für die 1. Klammer:

(A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\wedge[/mm]C)

([mm] \neg[/mm] B [mm]\wedge [/mm] A) [mm]\wedge [/mm] (A [mm]\wedge[/mm]C)

[mm] \neg[/mm] B [mm]\wedge [/mm][( A [mm]\wedge [/mm] (A [mm]\wedge[/mm]C))]

[mm] \neg[/mm] B [mm]\wedge [/mm][( A [mm]\wedge [/mm] A )[mm]\wedge[/mm]C]

Kommst Du jetzt weiter?

Gruß
Sigrid

Bezug
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