Aussagenlogik < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Formalisieren und beweisen Sie!
A) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n gerade ist, dann ist auch das Quadrat von n gerade.
B) Die Quadrate aller ungeraden natürlichen Zahlen sind ungerade.
C) Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl n gerade ist, dann ist auch n selbst gerade.
D) Wenn das Quadrat m einer natürlichen Zahl ungerade ist, dann ist auch wurzel{m} ungerade. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösung zu a wäre:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n gerade [mm] \gdw [/mm] n² gerade
Es sei n gerade.
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN: [/mm] n=2k
n² = 4k²
n² = 2 * 2k²
qed
b) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n ungerade [mm] \gdw [/mm] n² ungerade
Es sei n ungerade.
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN: [/mm] n=2k + 1
n²= (2k+1)²
n²= 4k² + 4k + 1
n²= 2* (2k²+2k) + 1
qed
Könnt ihr mir bei c und d helfen! Ich denke mal, dass ich dort mit [mm] \exists [/mm] arbeiten muss, bei den Formulierungen.
Danke
|
|
| |
|
Hallo Thomas000,
> Formalisieren und beweisen Sie!
> A) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n gerade
> ist, dann ist auch das Quadrat von n gerade.
> B) Die Quadrate aller ungeraden natürlichen Zahlen sind
> ungerade.
> C) Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl n gerade ist,
> dann ist auch n selbst gerade.
> D) Wenn das Quadrat m einer natürlichen Zahl ungerade
> ist, dann ist auch wurzel{m} ungerade.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Lösung zu a wäre:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : n gerade [mm]\gdw[/mm] n² gerade
Wieso die Äquivalenz? Da steht doch im Text nichts von einer "genau dann, wenn"-Beziehung.
[mm]\forall n\in\IN: n \ \text{gerade} \ \red{\Rightarrow} \ n^2 \ \text{gerade}[/mm]
Und das beweist du im Folgenden ja auch, wenn auch sämtliche Folgerungspfeile fehlen, was massiven Punktabzug gäbe in einer Übung oder Klausur ...
>
> Es sei n gerade.
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IN:[/mm] n=2k
>
> n² = 4k²
> n² = 2 * 2k²
> qed
Bis auf die fehlenden Beziehungen (die ich mir passend dazu denke) zwischen den leer im Raum stehenden Zeilen ist das richtig.
>
> b) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : n ungerade [mm]\gdw[/mm] n² ungerade
Wieder ist nur die Implikation [mm]\Rightarrow[/mm] formuliert, die du auch beweist. [mm]\Leftarrow[/mm] beweist du im Weiteren nicht (steht auch verbal nicht in der Aufgabe)
Wobei in A) und B) auch die umgekehrte Richtung gilt. Das kannst du dir ja mal überlegen. Wieso folgt aus [mm] $n^2$ [/mm] gerade auch $n$ gerade [mm] ($n\in\IN$) [/mm] ?
>
> Es sei n ungerade.
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IN:[/mm] n=2k + 1
>
> n²= (2k+1)²
> n²= 4k² + 4k + 1
> n²= 2* (2k²+2k) + 1
>
> qed
Wie oben ... Idee ist richtig, formal ziemlicher Murks
>
> Könnt ihr mir bei c und d helfen! Ich denke mal, dass ich
> dort mit [mm]\exists[/mm] arbeiten muss, bei den Formulierungen.
C) [mm]\forall n\in\IN: n^2 \ \text{gerade} \ \Rightarrow \ n \ \text{gerade}[/mm]
D) Nenne die (bel., aber dann feste) nat. Zahl [mm]n[/mm]
Dann ist [mm]m=n^2[/mm]
Versucht die Aussage wie in den anderen Teilen als Implikation zu schreiben ...
>
> Danke
>
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | zu c)
Sei n² gerade.
Angenommen n wäre nicht gerade.
[mm] \to \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n=2k+1
[mm] \to [/mm] n²=4k²+4k+1=2*(2k²+2k)+1
also n² ungerade (Widerspruchzeichen)
n muss also gerade sein. |
ich könnte c doch auch über einen indirekten weg beweisen, indem ich zeige, dass, wenn n ungerade ist, ein widerspruch erfolgt. n also gerade sein muss?! habs mal versucht oben darzustellen ;)
[mm] \to \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n=2k+1
[mm] \to [/mm] n²=4k²+4k+1=2*(2k²+2k)+1
also n² ungerade (Widerspruchzeichen)
n muss also gerade sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> zu c)
> Sei n² gerade.
> Angenommen n wäre nicht gerade.
>
> [mm]\to \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] : n=2k+1
> [mm]\to[/mm] n²=4k²+4k+1=2*(2k²+2k)+1
>
> also n² ungerade (Widerspruchzeichen)
> n muss also gerade sein.
> ich könnte c doch auch über einen indirekten weg
> beweisen, indem ich zeige, dass, wenn n ungerade ist, ein
> widerspruch erfolgt. n also gerade sein muss?! habs mal
> versucht oben darzustellen ;)
> [mm]\to \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] : n=2k+1
> [mm]\to[/mm] n²=4k²+4k+1=2*(2k²+2k)+1
>
> also n² ungerade (Widerspruchzeichen)
> n muss also gerade sein.
>
Das ist so richtig, allerdings hast du den Fall n=1 nicht mit eingeschlossen. Schreibe also besser [mm] k\in\IN\cup\{0\}.
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
|
