Ausschluss eines Merkmals in einer Grundgesamtheit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:52 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Dost |
Hallo zusammen!
Ich habe eine (mehrere?) Fragen zu folgender Problemstellung:
Ich habe eine Grundgesamtheit von n "Items", die mir als "alle gleichartig" (z.B. Männer - hierbei sei angenommen, dass alle Männer zumindest in einer Hinsicht gleichartig sind ;))) angekündigt sind. Über eine Stichprobe will ich eine "angemessene Sicherheit" erhalten, dass keine andersartigen "Items" (z.B. Frauen) in der Grundgesamtheit sind.
Nach meinen "Forschungen" im Internet müsste ich hier eigentlich mit "Hypothesentests" weiterkommen - in dem ich eine Hypothese "Es sind keine Frauen vorhanden" aufstelle und das z.B. mit einer 90% (95%,....) Sicherheit testen kann.
Die Fragen: Ist dieses "Problem" wirklich mit Hypothesentests zu lösen und wie berechne ich die Stichprobengröße? Oder brauche ich noch Angaben zur Verteilung der GG?
Vielen Dank im Voraus,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Grüße!
Ja, Hypothesentests sind der Weg, den man gehen sollte. Welches Verteilungsmodell man wählt, hängt von der Größe von n ab - die Stichproben sind ja binomial verteilt, was für große n nicht so leicht auszurechnen ist - dafür gibt es Näherungen.
Aber abgesehen von der Praxis erstmal die Theorie: ich bleibe bei Deinem Beispiel, in der Hoffnung, dass sich niemand dadurch dsikriminiert fühlt. 
Also, Du hast eine Gesamtheit von n Personen und Du möchtest mit einer gewissen Signifikanz sicher sein, dass es alles Männer sind. Dazu möchtest Du eine Stichprobe wählen, also k aus diesen n auswählen und das "nachprüfen" (keine Details hier, bitte).
Die Signifikanz bezieht sich dabei auf die Wahrscheinlichkeit einen Fehler zu machen. In unserem Beispiel bestünde ein Fehler darin, dass Du annimmst, Du hast nur Männer in Deiner Stichprobe, obwohl es nicht stimmt.
Gehen wir vom "Worst Case" aus, dann gibt es eine Frau und n-1 Männer. Dann mußt Du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Du bei k Elementen, die Du auswählst, die eine Frau nicht triffst - ist diese sehr gering (z.B. unter 5%), dann kannst Du Dir zu 95% sicher sein, dass Du Dich nicht irrst, wenn Du in der Probe nur Männer vorfindest.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, bei k Zügen die Frau NICHT zu treffen. (Ich gehe immer von einer Frau aus - wenn es mehr Frauen sind, ist diese Wahrscheinlichkeit ja noch geringer und wir wollen sie ja minimieren, daher reicht diese Betrachtung).
Und das mußt jetzt nur noch ausrechnen. In diesem Fall ist das nicht so schwer und das überlasse ich Dir. Das Wichtige ist ja auch die Theorie dahinter...
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Dost |
Hi Lars!
Danke erstmal für deine (erste?) Antwort!
Allerdings muss ich dir in einem Punkt widersprechen - das wichtige ist nicht nur die Theorie dahinter, sondern auch das Wissen, wie man so etwas ausrechnet ;)).
Ein offener Punkt ist noch die Sache mit der Grundgesamtheit: Angenommen, das beschriebene Problem stellt sich für verschiedene Gruppen von z.B. 15, 60 und 360 Personen in der Grundgesamtheit - welche Auswirkungen hätte das auf die Stichprobe?
Und noch viel offener ist der Punkt: Wie finde ich überhaupt die "richtige" Formel, um die Stichprobengröße auszurechnen?
Viele Grüße,
Thomas
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Hallo!
Wie Lars schon nebenbei erwähnte, sind die Lösungen binominal verteilt. Dafür gibt es eine Formel (Binominalverteilung) bzw. für Standartgrößen auch eine Tabelle (i.d.R. für n=10, n=20, n=50, n=100 und n=200)
Zur Formel findest du z.B. weiteres unter http://www.faes.de/Basis/Basis-Lexikon/Basis-Lexikon-Binomialverteilu/basis-lexikon-binomialverteilu.html
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Einen schönen Abend wünscht
Bärchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Do 22.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eigentlich ist die Frage nicht mehr offen, denn Lars hat es ja bereits sehr gut erklärt.
Der Rest, der hier stand, war peinlicher Blödsinn. Die richtige Antwort findest du bei Lars (Gnometech).
Liebe Grüße
Stefan
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Gruß!
Korrigiere mich bitte, falls ich mich irre, aber die von Dir angegebene Wahrscheinlichkeit ist nicht ganz korrekt...
Man hat doch genau [mm] n \choose k[/mm] Möglichkeiten, aus der Grundgesamtheit von n Personen k auszuwählen, denn man zieht natürlich ohne Zurücklegen und die Reihenfolge spielt auch keine Rolle.
Diese Möglichkeiten teilen sich in 2 Gruppen:
1) Diejenigen, bei denen nur Männer gezogen werden. Das sind gerade [mm] {{n-1} \choose k}[/mm], denn unter der Annahme, dass sich genau eine Frau in der Stichprobe befindet, muß man die k Personen aus der kleineren Grundgesamtheit wählen.
2) Diejenigen, bei denen die Frau dabei ist. Das sind aber [mm] {{n-1} \choose k-1} [/mm] Möglichkeiten, denn ich muß die übrigen k - 1 Leute aus den n - 1 Leuten auswählen.
Wie man sieht, addieren sich diese Gruppen zu allen Möglichkeiten auf (wie im Pascalschen Dreieck). Demnach ist aber doch die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, also nach k Zügen nur Männer zu haben doch [mm] \frac{{{n-1} \choose k}}{{n \choose k}} = \frac{(n-1)!(n-1-k)!}{k!} \cdot \frac{k!}{n!(n-k)!} = \frac{1}{n(n-k)} [/mm]
All dies gilt natürlich nur für [mm] k \not= n [/mm], sonst ist der Zähler einfach als 0 definiert. Wie man sieht, gibt es selbst für [mm] k = n-1 [/mm] noch die Möglichkeit sich zu irren, nämlich genau dann, wenn einem der eine "Ausreißer" durch die Lappen geht - die Wahrscheinlichkeit hierfür ist [mm] \frac{1}{n} [/mm].
Stefan: kannst Du kurz prüfen, ob das hier so stimmt? Bin in Stochastik nicht mehr so sicher wie noch zu Schulzeiten.
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Lars!
Edit: Du hast vollkommen Recht. Ich habe vorhin zu schnell geantwortet. Ein unglaublich peinlicher Anfängerfehler meinerseits, der mich an meinem Verstand zweifeln lässt.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo!
Ich weiß, ich bin sehr spät, trotzdem ist mir zu Lars' Lösung etwas aufgefallen:
Ich stimme mit Dir total überein, bis zur Stelle [mm] \frac{{{n-1} \choose k}}{{n \choose k}}[/mm].
Also, nach meiner Berchnung ergibt das:
[mm] \frac{(n-1)!}{k! (n-k-1)!} / \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{(n-1)! k! (n-k)!}{k! (n-k-1)!n!} = \frac{n-k}{n}[/mm]
Obwohl es für [mm] k = n-1 [/mm] dasselbe Ergebnis ergibt, ist das ja doch ein bischen was anderes als [mm] \frac{1}{n(n-k)} [/mm].
Oder liege ich da jetzt doch irgendwie falsch?
Grüße
Firlionel
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