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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Julia und Klaus fahren in den Skiurlaub. Da Klaus unter Höhenangst leidet, legen die beiden besonderen Wert darauf, stets gemeinsam in der Seilbahn zu sitzen. Die Kitzbüheler Hahnenkammbahn hat eine neue Mittelstation. Die meisten Wintersportler benutzen sie jedoch weiterhin von der Talstation bis zur Bergstation, so dass durchschnittlich nur jede fünfte an der Mittelstation ankommende Gondel ausreichend Platz für zwei zusteigende Fahrgäste bietet.
Zur Vereinfachung der Aufgabe nehmen Sie an, dass die Belegung einer Gondel jeweils unabhängig von der Belegung der vorherigen Gondeln ist (was im Allgemeinen in der Realität nicht unbedingt zutreffen muss).
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Julia und Klaus höchstens bis zur fünften Gondel warten müssen, um gemeinsam an der Mittelstation einsteigen zu können?
b) Bei der anschließenden Schneeballschlacht trifft Julia mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{2}{3} [/mm] bei jedem Wurf, während Klausens Trefferwahrscheinlichkeit 50% beträgt. Jeder wirft dreimal. Gewonnen hat, wer mehr Treffer erzielt als der Gegenspieler. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Klaus? |
Hallo liebe Matheraum- Community,
Aufgabenteil b)
Hier habe ich folgenden Ansatz:
1) Zunächst stelle ich alle Möglichkeiten auf, nach denen Klaus die Schlacht
gewinnen würde. Die Berechnung der jeweiligen Teilwahrscheinlichkeiten
ergibt sich aus der Formel der Binomialverteilung für jeweils eine genau
bestimmte Anzahl von Treffern, also ohne Aufsummierung von Treffern
und ohne Subtraktion von 1.
[mm] P_{1}(K1,J0)=P_{1}(K_{1})*P_{1}(J_{0})=0,1111111111
[/mm]
[mm] P_{2}(K2,J0)=P_{2}(K_{2})*P_{2}(J_{0})=0,1111111111
[/mm]
[mm] P_{3}(K2,J1)=P_{3}(K_{2})*P_{3}(J_{1})=0,3333333333
[/mm]
[mm] P_{4}(K3,J0)=P_{4}(K_{3})*P_{4}(J_{0})=0,0370370370
[/mm]
[mm] P_{5}(K3,J1)=P_{5}(K_{3})*P_{5}(J_{1})=0,1111111111
[/mm]
[mm] P_{6}(K3,J2)=P_{6}(K_{3})*P_{6}(J_{2})=0,1111111111
[/mm]
Wenn ich nun alle 6 Teilwahrscheinlichkeiten zusammen addiere, erhalte ich für [mm] P_{ges}=0,8148148151, [/mm] also ca. 81,5%.
Meine Fragen zum Aufgabenteil b)
(1) Stimmt diese Rechnung?
(2) Wenn ja, wie ist es möglich, dass Klaus ein stark höhere
Gewinnwahrscheinlichkeit hat als Julia, obgleich seine
Trefferwahrscheinlichkeit kleiner ist als jene von Julia?
zum Aufgabenteil a)
Aus dem Text entnehme ich die folgenden Größen:
[mm] p=\bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] x\le5
[/mm]
Meine Frage zum Aufgabenteil a)
(1) Stimmen die berechneten Parameter?
(2) Wie muss ich nun fortfahren, bzw. welche Formel gilt es nun zu
verwenden?
Über eine baldige Hilfe würde ich mich freuen. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Do 11.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
erst einmal zu Aufgabenteil a)
Mit der Wahrscheinlichkeit [mm] p=\bruch{1}{5} [/mm] liegst du richtig.
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass spätestens die 5. Gondel 2 freie Plätze hat. Berechne also
[mm] P(X\le{5})=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+p(X=5), [/mm] wobei X die i. Gondel (i=1,2,...,5) beschreibt.
Wie groß ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Gondel Platz für beide bietet?
[mm] P(X=2)=\bruch{4}{5}*\bruch{1}{5}, [/mm] da die erste Gondel keinen Platz für beide bietet, also [mm] (1-p)=1-\bruch{1}{5} [/mm] und erst die 2. Gondel die gewünschte Eigenschaft hat.
Nun zu Aufgabenteil b)
Mhhhhh, deine schriftlichen Überlegungen scheinen zu stimmen, die Rechnungen jedoch nicht - du schreibst leider nur die Lösung, nicht aber den Lösungsweg hin.
Nehmen wir einmal eine Wahrscheinlichkeit heraus, nämlich:
Julia trifft 0 Mal, dann gewinnt Klaus, wenn er 1-mal, 2-mal oder 3-mal trifft:
[mm] P(\blue{K1},\red{J0})=\blue{\vektor{3 \\ 1}*(\bruch{1}{2})^1*(\bruch{1}{2})^2}*\red{\bruch{1}{3}^3}\approx{0,013888888}
[/mm]
[mm] P(\blue{K2},\red{J0})=\blue{\vektor{3 \\ 2}*(\bruch{1}{2})^2*(\bruch{1}{2})^1}*\red{\bruch{1}{3}^3}\approx{0,013888888}
[/mm]
[mm] P(\blue{K3},\red{J0})=\blue{\vektor{3 \\ 3}*(\bruch{1}{2})^3}*\red{\bruch{1}{3}^3}\approx{0,004629629}
[/mm]
Übderdenke also noch einmal deinen Lösungsansatz zu Aufgabenteil b) und melde dich, wenn noch Unklarheiten beseitigt werden wollen.
MfG barsch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:28 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo barsch!
Aufgabenteil a) ist soweit okay. Hier arbeitet man offensichtlich mit der geometrischen Verteilung. Vielen Dank!
Bei Aufgabenteil b) ist mir nicht klar, aus welchen Faktoren sich deine Binomialverteilungen zusammensetzen. Ganz besonders unklar erscheint mir jeweils der rot gekennzeichnete Faktor [mm] (\bruch{1}{3})^{3}. [/mm]
Beispielsweise habe ich für den Fall P(K1,J0) folgende Berechnung:
[mm] [\vektor{3 \\ 1}*(\bruch{1}{2})^{1}*(\bruch{1}{2})^{3-1}]*[\vektor{3 \\ 0}*(\bruch{2}{3})^{0}*(\bruch{2}{3})^{3-0}]
[/mm]
Als Ergebnis kommt dann genau dieser Faktor [mm] (\bruch{1}{3})^{3} [/mm] heraus, bzw. 0,1111111111. Ist das jetzt Zufall oder Logik? Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo barsch!
Alles klar, ich habe es herausgefunden. Ich hatte in jeweils einem Faktor vergessen, die Wahrscheinlichkeit p zunächst von 1 zu subtrahieren. Für deine schönen Erklärungen bedanke ich mich recht herzlich. Gruß,
Marcel
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