Aut(D) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 So 11.07.2010 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | Es sei [mm] D=\{z \in \IC: |z| < 1\} [/mm] und [mm] \phi_1, \phi_2: D\to\IC [/mm] seien injektiv und holomorph mit [mm] \phi_1(D)=\phi_2(D), \phi_1(0)=\phi_2(0) [/mm] und [mm] \arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0). [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] \phi_1=\phi_2 [/mm] ist.
Hinweis: Benutzen Sie Ihre Kenntnisse über Aut(D). |
Ok, ich setz' [mm] \phi_1(z)=\eta_1 \bruch{z-w_1}{\bar{w_1}z -1} [/mm] und [mm] \phi_2(z)=\eta_2 \bruch{z-w_2}{\bar{w_2}z -1}.
[/mm]
[mm] \arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0) \gdw \arg \eta_1(-1-|w_1|^2)=\arg \eta_2(-1-|w_2|^2) \Rightarrow \eta_{1}=\eta_{2}
[/mm]
[mm] \phi_1(0)=\phi_2(0) \Rightarrow \eta_{1}w_1=\eta_{2}w_2
[/mm]
Damit wär's das doch schon, oder?
Edit: Ok, ich hab' jetzt einfach angenommen, dass es sich bei [mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \phi_2 [/mm] um Automorphismen von D handelt. Dies müsste ich auch noch begünden?! Ist eine injektive, holomorphe Funktion auf D automatisch ein Automorphismus auf D?
Edit2: Nach dem Satz von Osgood ist jede injektive, holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung. Demnach muss ich nur zeigen, dass [mm] \phi_1(D)=\phi_2(D)=D [/mm] gilt. Nur wie?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]D=\{z \in \IC: |z| < 1\}[/mm] und [mm]\phi_1, \phi_2: D\to\IC[/mm]
> seien injektiv und holomorph mit [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D), \phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm]
> und [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0).[/mm] Beweisen Sie, dass
> [mm]\phi_1=\phi_2[/mm] ist.
>
> Hinweis: Benutzen Sie Ihre Kenntnisse über Aut(D).
> Ok, ich setz' [mm]\phi_1(z)=\eta_1 \bruch{z-w_1}{\bar{w_1}z -1}[/mm]
> und [mm]\phi_2(z)=\eta_2 \bruch{z-w_2}{\bar{w_2}z -1}.[/mm]
> [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0) \gdw \arg \eta_1(-1-|w_1|^2)=\arg \eta_2(-1-|w_2|^2) \Rightarrow \eta_{1}=\eta_{2}[/mm]
>
> [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0) \Rightarrow \eta_{1}w_1=\eta_{2}w_2[/mm]
>
> Damit wär's das doch schon, oder?
>
> Edit: Ok, ich hab' jetzt einfach angenommen, dass es sich
> bei [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2[/mm] um Automorphismen von D handelt.
Das kannst Du aber nicht !!!
> Dies
> müsste ich auch noch begünden?! Ist eine injektive,
> holomorphe Funktion auf D automatisch ein Automorphismus
> auf D?
Nein ! Zum Beispiel ist $f(z) = z +4711$ auf D injetiv und holomorph, aber f(0) ist kein Element von D
>
> Edit2: Nach dem Satz von Osgood ist jede injektive,
> holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung. Demnach
> muss ich nur zeigen, dass [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D)=D[/mm] gilt. Nur
> wie?!
Du mußt das ganz anders machen:
betrachte die Abbildung $f:= [mm] \phi_2^{-1} \circ \phi_1 [/mm] : D [mm] \to [/mm] D$
Es ist $f [mm] \in [/mm] Aut(D)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Camille |
Hi Fred!
> > Es sei [mm]D=\{z \in \IC: |z| < 1\}[/mm] und [mm]\phi_1, \phi_2: D\to\IC[/mm]
> > seien injektiv und holomorph mit [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D), \phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm]
> > und [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0).[/mm] Beweisen Sie, dass
> > [mm]\phi_1=\phi_2[/mm] ist.
> >
> > Hinweis: Benutzen Sie Ihre Kenntnisse über Aut(D).
> > Ok, ich setz' [mm]\phi_1(z)=\eta_1 \bruch{z-w_1}{\bar{w_1}z -1}[/mm]
> > und [mm]\phi_2(z)=\eta_2 \bruch{z-w_2}{\bar{w_2}z -1}.[/mm]
> >
> [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0) \gdw \arg \eta_1(-1-|w_1|^2)=\arg \eta_2(-1-|w_2|^2) \Rightarrow \eta_{1}=\eta_{2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0) \Rightarrow \eta_{1}w_1=\eta_{2}w_2[/mm]
>
> >
> > Damit wär's das doch schon, oder?
> >
> > Edit: Ok, ich hab' jetzt einfach angenommen, dass es sich
> > bei [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2[/mm] um Automorphismen von D handelt.
>
> Das kannst Du aber nicht !!!
>
>
> > Dies
> > müsste ich auch noch begünden?! Ist eine injektive,
> > holomorphe Funktion auf D automatisch ein Automorphismus
> > auf D?
>
> Nein ! Zum Beispiel ist [mm]f(z) = z +4711[/mm] auf D injetiv und
> holomorph, aber f(0) ist kein Element von D
> >
> > Edit2: Nach dem Satz von Osgood ist jede injektive,
> > holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung. Demnach
> > muss ich nur zeigen, dass [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D)=D[/mm] gilt. Nur
> > wie?!
>
> Du mußt das ganz anders machen:
>
> betrachte die Abbildung [mm]f:= \phi_2^{-1} \circ \phi_1 : D \to D[/mm]
Joa, als ich merkte, dass mein Ansatz scheitert kam mir auch genau diese Idee.
Ich müsste doch zeigen, dass [mm] \phi_2^{-1} \circ \phi_1=id [/mm] gilt und daraus dann [mm] \phi_2^{-1}=\phi_1^{-1}\gdw\phi_2=\phi_1 [/mm] folgern, oder?
Mir fällt es schwer aus [mm] \arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0) [/mm] einen Nutzen zu gewinnen. Was genau beschreibt das Argument der Ableitung einer Funktion?
>
> Es ist [mm]f \in Aut(D)[/mm]
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Fred!
>
> > > Es sei [mm]D=\{z \in \IC: |z| < 1\}[/mm] und [mm]\phi_1, \phi_2: D\to\IC[/mm]
> > > seien injektiv und holomorph mit [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D), \phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm]
> > > und [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0).[/mm] Beweisen Sie, dass
> > > [mm]\phi_1=\phi_2[/mm] ist.
> > >
> > > Hinweis: Benutzen Sie Ihre Kenntnisse über Aut(D).
> > > Ok, ich setz' [mm]\phi_1(z)=\eta_1 \bruch{z-w_1}{\bar{w_1}z -1}[/mm]
> > > und [mm]\phi_2(z)=\eta_2 \bruch{z-w_2}{\bar{w_2}z -1}.[/mm]
> >
> >
> > [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0) \gdw \arg \eta_1(-1-|w_1|^2)=\arg \eta_2(-1-|w_2|^2) \Rightarrow \eta_{1}=\eta_{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0) \Rightarrow \eta_{1}w_1=\eta_{2}w_2[/mm]
>
> >
> > >
> > > Damit wär's das doch schon, oder?
> > >
> > > Edit: Ok, ich hab' jetzt einfach angenommen, dass es sich
> > > bei [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2[/mm] um Automorphismen von D handelt.
> >
> > Das kannst Du aber nicht !!!
> >
> >
> > > Dies
> > > müsste ich auch noch begünden?! Ist eine injektive,
> > > holomorphe Funktion auf D automatisch ein Automorphismus
> > > auf D?
> >
> > Nein ! Zum Beispiel ist [mm]f(z) = z +4711[/mm] auf D injetiv und
> > holomorph, aber f(0) ist kein Element von D
> > >
> > > Edit2: Nach dem Satz von Osgood ist jede injektive,
> > > holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung. Demnach
> > > muss ich nur zeigen, dass [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D)=D[/mm] gilt. Nur
> > > wie?!
> >
> > Du mußt das ganz anders machen:
> >
> > betrachte die Abbildung [mm]f:= \phi_2^{-1} \circ \phi_1 : D \to D[/mm]
>
> Joa, als ich merkte, dass mein Ansatz scheitert kam mir
> auch genau diese Idee.
>
> Ich müsste doch zeigen, dass [mm]\phi_2^{-1} \circ \phi_1=id[/mm]
> gilt und daraus dann
> [mm]\phi_2^{-1}=\phi_1^{-1}\gdw\phi_2=\phi_1[/mm] folgern, oder?
>
> Mir fällt es schwer aus [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0)[/mm]
> einen Nutzen zu gewinnen. Was genau beschreibt das Argument
> der Ableitung einer Funktion?
Was folgt denn aus [mm] $\phi_1(0)=\phi_2(0)$ [/mm] für $f(0)$ ?
Und wie sieht $f'(0)$ aus? (Satz von der inversen Funktion anwenden!)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:57 Di 13.07.2010 | | Autor: | Camille |
Hi Rainer!
> Hallo!
>
> > Hi Fred!
> >
> > > > Es sei [mm]D=\{z \in \IC: |z| < 1\}[/mm] und [mm]\phi_1, \phi_2: D\to\IC[/mm]
> > > > seien injektiv und holomorph mit [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D), \phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm]
> > > > und [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0).[/mm] Beweisen Sie, dass
> > > > [mm]\phi_1=\phi_2[/mm] ist.
> > > >
> > > > Hinweis: Benutzen Sie Ihre Kenntnisse über Aut(D).
> > > > Ok, ich setz' [mm]\phi_1(z)=\eta_1 \bruch{z-w_1}{\bar{w_1}z -1}[/mm]
> > > > und [mm]\phi_2(z)=\eta_2 \bruch{z-w_2}{\bar{w_2}z -1}.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0) \gdw \arg \eta_1(-1-|w_1|^2)=\arg \eta_2(-1-|w_2|^2) \Rightarrow \eta_{1}=\eta_{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0) \Rightarrow \eta_{1}w_1=\eta_{2}w_2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Damit wär's das doch schon, oder?
> > > >
> > > > Edit: Ok, ich hab' jetzt einfach angenommen, dass es sich
> > > > bei [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2[/mm] um Automorphismen von D handelt.
> > >
> > > Das kannst Du aber nicht !!!
> > >
> > >
> > > > Dies
> > > > müsste ich auch noch begünden?! Ist eine injektive,
> > > > holomorphe Funktion auf D automatisch ein Automorphismus
> > > > auf D?
> > >
> > > Nein ! Zum Beispiel ist [mm]f(z) = z +4711[/mm] auf D injetiv und
> > > holomorph, aber f(0) ist kein Element von D
> > > >
> > > > Edit2: Nach dem Satz von Osgood ist jede injektive,
> > > > holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung. Demnach
> > > > muss ich nur zeigen, dass [mm]\phi_1(D)=\phi_2(D)=D[/mm] gilt. Nur
> > > > wie?!
> > >
> > > Du mußt das ganz anders machen:
> > >
> > > betrachte die Abbildung [mm]f:= \phi_2^{-1} \circ \phi_1 : D \to D[/mm]
>
> >
> > Joa, als ich merkte, dass mein Ansatz scheitert kam mir
> > auch genau diese Idee.
> >
> > Ich müsste doch zeigen, dass [mm]\phi_2^{-1} \circ \phi_1=id[/mm]
> > gilt und daraus dann
> > [mm]\phi_2^{-1}=\phi_1^{-1}\gdw\phi_2=\phi_1[/mm] folgern, oder?
> >
> > Mir fällt es schwer aus [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0)[/mm]
> > einen Nutzen zu gewinnen. Was genau beschreibt das Argument
> > der Ableitung einer Funktion?
>
> Was folgt denn aus [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm] für [mm]f(0)[/mm] ?
[mm] \phi_1(0)=\phi_2(0)\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow \eta\bruch{z-w}{z\bar{w}-1}=0\Rightarrow w\eta=0\Rightarrow w=0\Rightarrow f(z)=-z\eta
[/mm]
>
> Und wie sieht [mm]f'(0)[/mm] aus? (Satz von der inversen Funktion
> anwenden!)
[mm] f'(0)=-\eta
[/mm]
Hmmm... stimmt das soweit? Und nu?! Verstehe nicht wie und wozu ich den Satz von der Umkehrabbildung in's Spiel bringen kann, muss...
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:36 Di 13.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Joa, als ich merkte, dass mein Ansatz scheitert kam mir
> > > auch genau diese Idee.
> > >
> > > Ich müsste doch zeigen, dass [mm]\phi_2^{-1} \circ \phi_1=id[/mm]
> > > gilt und daraus dann
> > > [mm]\phi_2^{-1}=\phi_1^{-1}\gdw\phi_2=\phi_1[/mm] folgern, oder?
> > >
> > > Mir fällt es schwer aus [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0)[/mm]
> > > einen Nutzen zu gewinnen. Was genau beschreibt das Argument
> > > der Ableitung einer Funktion?
> >
> > Was folgt denn aus [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm] für [mm]f(0)[/mm] ?
>
> [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0)\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow \eta\bruch{z-w}{z\bar{w}-1}=0\Rightarrow w\eta=0\Rightarrow w=0\Rightarrow f(z)=-z\eta[/mm]
>
> >
> > Und wie sieht [mm]f'(0)[/mm] aus? (Satz von der inversen Funktion
> > anwenden!)
>
> [mm]f'(0)=-\eta[/mm]
>
> Hmmm... stimmt das soweit? Und nu?! Verstehe nicht wie und
> wozu ich den Satz von der Umkehrabbildung in's Spiel
> bringen kann, muss...
Nun, $f$ ist ein Automorphismus von $D$. Was muss dann noch fuer [mm] $\eta$ [/mm] gelten? Es kann doch nur ganz bestimmte Werte annehmen.
Rechne doch mal auch $f'(0)$ mit Hilfe der Kettenregel aus; den Satz von der Umkehrabbildung brauchst du um [mm] $(\phi_2^{-1})'$ [/mm] anzugeben. Rechne damit [mm] $\arg [/mm] f'(0)$ aus.
Dann kannst du genau sagen, was [mm] $\eta$ [/mm] ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:41 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
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> > > > Joa, als ich merkte, dass mein Ansatz scheitert kam mir
> > > > auch genau diese Idee.
> > > >
> > > > Ich müsste doch zeigen, dass [mm]\phi_2^{-1} \circ \phi_1=id[/mm]
> > > > gilt und daraus dann
> > > > [mm]\phi_2^{-1}=\phi_1^{-1}\gdw\phi_2=\phi_1[/mm] folgern, oder?
> > > >
> > > > Mir fällt es schwer aus [mm]\arg \phi_1'(0)=\arg \phi_2'(0)[/mm]
> > > > einen Nutzen zu gewinnen. Was genau beschreibt das Argument
> > > > der Ableitung einer Funktion?
> > >
> > > Was folgt denn aus [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0)[/mm] für [mm]f(0)[/mm] ?
> >
> > [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0)\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow \eta\bruch{z-w}{z\bar{w}-1}=0\Rightarrow w\eta=0\Rightarrow w=0\Rightarrow f(z)=-z\eta[/mm]
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> > > Und wie sieht [mm]f'(0)[/mm] aus? (Satz von der inversen Funktion
> > > anwenden!)
> >
> > [mm]f'(0)=-\eta[/mm]
> >
> > Hmmm... stimmt das soweit? Und nu?! Verstehe nicht wie und
> > wozu ich den Satz von der Umkehrabbildung in's Spiel
> > bringen kann, muss...
>
> Nun, [mm]f[/mm] ist ein Automorphismus von [mm]D[/mm]. Was muss dann noch
> fuer [mm]\eta[/mm] gelten? Es kann doch nur ganz bestimmte Werte
> annehmen.
>
> Rechne doch mal auch [mm]f'(0)[/mm] mit Hilfe der Kettenregel aus;
> den Satz von der Umkehrabbildung brauchst du um
> [mm](\phi_2^{-1})'[/mm] anzugeben. Rechne damit [mm]\arg f'(0)[/mm] aus.
Heute morgen fiel mir ein, dass es einfacher ist, die Ableitung von
[mm] \phi_2\circ f = \phi_1 [/mm]
an der Stelle 0 zu berechnen. Da braucht man "nur" die Kettenregel 
Viele Grüße
Rainer
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