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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Ich habe hier gerade ein kleines Formel-Chaos, ich hoffe, jemand kann es mir "auflösen". 
Und zwar sei die spektrale Leistungsdichte [mm] S_{xx} [/mm] und damit ist die Autokorrelationsfunktion [mm] \Phi_{xx}(\tau)=\frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}S_{xx}(\omega)e^{-i\omega\tau}\:d\omega.
[/mm]
Woanders habe ich stehen, dass die AKF folgendes ist: [mm] \Phi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)*x(t+\tau)}.
[/mm]
Und noch woanders: [mm] \Phi_{xx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\integral_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau)\:dt.
[/mm]
Zumindest die erste und die letzte Formel finde ich auch bei Wikipedia, allerdings weiß ich den Unterschied nicht, oder wann man was verwendet oder ist beides dasselbe oder wie?
Und dann gibt es ja auch noch die Kreuzkorrelation. Dafür habe ich einmal stehen: [mm] \Phi_{xy}(\tau)=\overline{x(t-\tau)*y(t)}, [/mm] daraus soll dann direkt folgen: [mm] \Phi_{xy}(\tau)=\integral_0^{\infty}h(t)\Phi_{xx}(\tau-t)\:dt. [/mm] Was auch immer das h hierbei sein mag...
Aber dafür scheint es auch noch eine Definition mit dem Limes zu geben, ist das dann:
[mm] \Phi_{xx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\integral_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau)\:dt?
[/mm]
Und ist es eigentlich immer egal, ob da [mm] t+\tau [/mm] oder [mm] t-\tau [/mm] steht? Ich meine, ich verschiebe das Signal ja einfach, das ist doch eigentlich egal, ob ich es nach rechts oder nach links verschiebe, aber ist es wirklich immer egal, ob da + oder - steht?
Wäre super, wenn da jemand schreiben könnte, was denn jetzt der Unterschied der einzelnen Definitionen ist oder wann man was verwendet oder wozu das überhaupt gut ist. Ich würde nämlich gerne wissen, was genau ich davon auswendig lernen muss, und was ich mir dann selber herleiten kann, falls es nötig ist.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bastiane,
bei einem Zufallsprozess, der eine Funktion der Zeit ist, hat man mehrere Möglichkeiten, diesen Prozess statistisch zu beschreiben. Der Zufallsprozess liefert mehrere Zufallssignale und nun kann man sich überlegen, ob man anhand eines Signals und dessen Verlauf über die Zeit Aussagen gewinnen will oder ob man zu statistischen Messungen greifen will, die Aussagen über die Schar der Zufallssignale liefert. Stimmen die Scharmittelwerte mit den Zeitmittelwerten überein, so nennt man den Prozess ergodisch.
Weitere Antworten findest Du in Deinem Beitrag.
Viele Grüße,
Infinit
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier gerade ein kleines Formel-Chaos, ich hoffe,
> jemand kann es mir "auflösen".
>
> Und zwar sei die spektrale Leistungsdichte [mm]S_{xx}[/mm] und damit
> ist die Autokorrelationsfunktion
> [mm]\Phi_{xx}(\tau)=\frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}S_{xx}(\omega)e^{-i\omega\tau}\:d\omega.[/mm]
>
> Woanders habe ich stehen, dass die AKF folgendes ist:
> [mm]\Phi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)*x(t+\tau)}.[/mm]
> Und noch woanders:
> [mm]\Phi_{xx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\integral_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau)\:dt.[/mm]
>
> Zumindest die erste und die letzte Formel finde ich auch
> bei Wikipedia, allerdings weiß ich den Unterschied nicht,
> oder wann man was verwendet oder ist beides dasselbe oder
> wie?
Die erste und letzte Gleichung gelten für einen ergodischen Zufallsprozess. Hier sind nämlich Autokorrelierte und Leistungsdichte über die Fouriertransformation verknüpft. Die zweite Gleichung ist nichts weiter als eine abgekürzte Schreibweise der dritten Gleichung. Mit dem Oberstrich kennzeichnet man die zeitliche Mittelwertbildung.
> Und dann gibt es ja auch noch die Kreuzkorrelation. Dafür
> habe ich einmal stehen:
> [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\overline{x(t-\tau)*y(t)},[/mm] daraus soll dann
> direkt folgen:
> [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\integral_0^{\infty}h(t)\Phi_{xx}(\tau-t)\:dt.[/mm]
> Was auch immer das h hierbei sein mag...
Das h ist die Impulsantwort eines Systems, das mit dem Signal x beaufschlagt wird. Somit bestimmt man die Kreuzkorrelierte zwischen Ein- und Ausgangssignal.
> Aber dafür scheint es auch noch eine Definition mit dem
> Limes zu geben, ist das dann:
> [mm]\Phi_{xx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\integral_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau)\:dt?[/mm]
Diese Form enstpricht der obigen Form einer Autokorrelierten.
> Und ist es eigentlich immer egal, ob da [mm]t+\tau[/mm] oder [mm]t-\tau[/mm]
> steht? Ich meine, ich verschiebe das Signal ja einfach, das
> ist doch eigentlich egal, ob ich es nach rechts oder nach
> links verschiebe, aber ist es wirklich immer egal, ob da +
> oder - steht?
Das mit dem $ [mm] \tau [/mm] $ ist Definitionssache. Da die Autokorrelationsfunktion eine gerade Funktion der Zeit ist, kann man auch mit $ - [mm] \tau [/mm] $ rechnen.
> Wäre super, wenn da jemand schreiben könnte, was denn jetzt
> der Unterschied der einzelnen Definitionen ist oder wann
> man was verwendet oder wozu das überhaupt gut ist. Ich
> würde nämlich gerne wissen, was genau ich davon auswendig
> lernen muss, und was ich mir dann selber herleiten kann,
> falls es nötig ist.
>
Gut ist das Ganze dafür, die Ähnlichkeit zwischen zwei Signalen auf statistische Weise zu beschreiben.
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 So 11.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Infinit!
Vielen Dank für deine Antwort. Ich bin froh, dass sich hier doch noch jemand damit auskennt. Allerdings sagen mit die statistischen Erklärungen nicht so viel, ich brauche es wohl eher im Zusammenhang der Signalverarbeitung (wir hatten das irgendwie im Zusammenhang mit den Wiener Kernen, falls dir das etwas sagt...).
> > [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\overline{x(t-\tau)*y(t)},[/mm] daraus soll dann
> > direkt folgen:
Kann ich dann hier auch schreiben: [mm] \Phi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)*y(t+\tau)}? [/mm] Das würde dann der Definition unten mit dem Limes entsprechen, jedenfalls könnte ich es mir so besser merken. Aber ist das dasselbe? Eigentlich ist die Autokorrelation doch nur ein Spezialfall der Kreuzkorrelation, und dort habe ich es auch beide Male mit [mm] t+\tau [/mm] geschrieben.
> [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\integral_0^{\infty}h(t)\Phi_{xx}(\tau-t)\:dt.[/mm]
> > Was auch immer das h hierbei sein mag...
> Das h ist die Impulsantwort eines Systems, das mit dem
> Signal x beaufschlagt wird. Somit bestimmt man die
> Kreuzkorrelierte zwischen Ein- und Ausgangssignal.
Aha, aber so ganz verstehe ich das nicht. Wie kommt man denn darauf? Und wieso geht das Integral hier von Null bis unendlich? Sonst fing es doch immer bei minus unendlich an...
> > Aber dafür scheint es auch noch eine Definition mit dem
> > Limes zu geben, ist das dann:
> >
> [mm]\Phi_{xx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\integral_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau)\:dt?[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bastiane,
der Einfachheit halber schreibe ich meine Antworten in Deinen Beitrag rein.
Viele Grüße,
Infinit
> Hallo Infinit!
>
> Vielen Dank für deine Antwort. Ich bin froh, dass sich hier
> doch noch jemand damit auskennt. Allerdings sagen mit die
> statistischen Erklärungen nicht so viel, ich brauche es
> wohl eher im Zusammenhang der Signalverarbeitung (wir
> hatten das irgendwie im Zusammenhang mit den Wiener Kernen,
> falls dir das etwas sagt...).
>
> > > [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\overline{x(t-\tau)*y(t)},[/mm] daraus soll dann
> > > direkt folgen:
>
> Kann ich dann hier auch schreiben:
> [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)*y(t+\tau)}?[/mm] Das würde dann
> der Definition unten mit dem Limes entsprechen, jedenfalls
> könnte ich es mir so besser merken. Aber ist das dasselbe?
> Eigentlich ist die Autokorrelation doch nur ein Spezialfall
> der Kreuzkorrelation, und dort habe ich es auch beide Male
> mit [mm]t+\tau[/mm] geschrieben.
Ja, das ist dasselbe, wie Du durch eine einfache Variablensubstitution feststellen kannst.
>
> >
> [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\integral_0^{\infty}h(t)\Phi_{xx}(\tau-t)\:dt.[/mm]
> > > Was auch immer das h hierbei sein mag...
> > Das h ist die Impulsantwort eines Systems, das mit dem
> > Signal x beaufschlagt wird. Somit bestimmt man die
> > Kreuzkorrelierte zwischen Ein- und Ausgangssignal.
>
> Aha, aber so ganz verstehe ich das nicht. Wie kommt man
> denn darauf? Und wieso geht das Integral hier von Null bis
> unendlich? Sonst fing es doch immer bei minus unendlich
> an...
>
Ja, die untere Integralgrenze finde ich auch etwas merkwürdig. Man kann natürlich berücksichtigen, dass die Autokorellierte eine gerade Funktion von [mm] \tau [/mm] ist, aber das erklärt noch nicht diese Form, es sei denn, irgendwelche Normierungen haben hier stattgefunden. Meine Herleitung, bei der ich als Nachrichtentechniker die Korrelationsfunktion mit R bezeichne und mit E die Erwartungswertbildung, würde folgendermaßen aussehen:
$$ [mm] \begin{array}{ccc}
R_{XY}(\tau) & = & E\{ X(t) \int_{-\infty}^{\infty} h(u) X(t+ \tau - u) \} du \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty} h(u) E \{ X(t) X(t + \tau - u) \} du \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty} h (u) R_{XX} (\tau - u) du \\
& = & h(\tau) \circ R_{XX} (\tau )
\end{array} [/mm]
$$
Damit entspricht dies der Faltung der Autokorrelationsfunktion des Eingangsprozesses mit der Impulsantwort und gilt für einen stationären Prozess.
> > > Aber dafür scheint es auch noch eine Definition mit dem
> > > Limes zu geben, ist das dann:
> > >
> >
> [mm]\Phi_{xx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\integral_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau)\:dt?[/mm]
>
Ich nehme an, das war ein Tippfehler, dies ist [mm] \Phi_{xy}(\tau) [/mm].
> Viele Grüße
> Bastiane
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Infinit!
> [mm]\Phi_{xy}(\tau)=\integral_0^{\infty}h(t)\Phi_{xx}(\tau-t)\:dt.[/mm]
> > > > Was auch immer das h hierbei sein mag...
> > > Das h ist die Impulsantwort eines Systems, das mit
> dem
> > > Signal x beaufschlagt wird. Somit bestimmt man die
> > > Kreuzkorrelierte zwischen Ein- und Ausgangssignal.
> >
> > Aha, aber so ganz verstehe ich das nicht. Wie kommt man
> > denn darauf? Und wieso geht das Integral hier von Null bis
> > unendlich? Sonst fing es doch immer bei minus unendlich
> > an...
> >
>
> Ja, die untere Integralgrenze finde ich auch etwas
> merkwürdig. Man kann natürlich berücksichtigen, dass die
> Autokorellierte eine gerade Funktion von [mm]\tau[/mm] ist, aber das
> erklärt noch nicht diese Form, es sei denn, irgendwelche
> Normierungen haben hier stattgefunden. Meine Herleitung,
> bei der ich als Nachrichtentechniker die
> Korrelationsfunktion mit R bezeichne und mit E die
> Erwartungswertbildung, würde folgendermaßen aussehen:
> [mm][/mm] [mm]\begin{array}{ccc}
R_{XY}(\tau) & = & E\{ X(t) \int_{-\infty}^{\infty} h(u) X(t+ \tau - u) \} du \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty} h(u) E \{ X(t) X(t + \tau - u) \} du \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty} h (u) R_{XX} (\tau - u) du \\
& = & h(\tau) \circ R_{XX} (\tau )
\end{array}[/mm]
> [mm][/mm]
Vielen Dank. Wahrscheinlich war das dann mal wieder ein Fehler unseres Profs - nicht der erste.  Habe vorhin auch endlich mal per google etwas gefunden, und dort war auch bei sämtlichen Volterra und Wiener Kernen die untere Integralgrenze immer 0. Wahrscheinlich gibt es da irgendeinen Grund, warum man das so oder so schreiben kann, und unser Prof hat dann dummerweise zwei unterschiedliche Arten erwischt...
Viele Grüße
Bastiane
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