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Automorphismengruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Mo 20.08.2007
Autor: julia.k

Aufgabe
Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau eine abelsche Gruppe der Ordnung 203 gibt. Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.

Hallo!

Ich habe zu dieser Aufgabe die Musterlösung, die so beginnt:
Die Primzerlegung der Zahl 203 ist [mm] 7\*29. [/mm] Die Gruppe [mm] \IZ/<7>\times\IZ/<29> [/mm] hat die Ordnung 203. Nach dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen ist jede abelsche Gruppe der Ordnung 203 dazu isomorph.
Die Automorphismen-Gruppe von [mm] \IZ/<29> [/mm] besteht aus 28 Elementen... usw.

Jetzt meine Frage: Woher weiß ich, aus wie vielen Elementen diese Automorphismengruppe besteht?!

        
Bezug
Automorphismengruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mo 20.08.2007
Autor: statler

Hallo Julia!

> Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau eine abelsche
> Gruppe der Ordnung 203 gibt. Bestimmen Sie eine
> nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.
>  Hallo!
>  
> Ich habe zu dieser Aufgabe die Musterlösung, die so
> beginnt:
>  Die Primzerlegung der Zahl 203 ist [mm]7\*29.[/mm] Die Gruppe
> [mm]\IZ/<7>\times\IZ/<29>[/mm] hat die Ordnung 203. Nach dem
> Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen ist jede abelsche
> Gruppe der Ordnung 203 dazu isomorph.
>  Die Automorphismen-Gruppe von [mm]\IZ/<29>[/mm] besteht aus 28
> Elementen... usw.
>  
> Jetzt meine Frage: Woher weiß ich, aus wie vielen Elementen
> diese Automorphismengruppe besteht?!

Diese Gruppe hat 28 erzeugende Elemente, und ein Automorphismus ist durch das Bild eines erzeugenden Elements völlig festgelegt. Da ich 28 Möglichkeiten für das Bild eines festen erz. Elements habe, gibt es 28 Automorphismen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
Automorphismengruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Mo 20.08.2007
Autor: julia.k

Hey vielen Dank erstmal für deine Antwort! Aber ganz hab ich's noch nicht:

1) [mm] \IZ/<29> [/mm] hat doch nicht 28, sondern 29 Elemente ?!
2) Kannst du mir zufällig sagen, woher du das hast, dass das ein Automorphismus durch das Bild eines erz. Elts festgelegt ist... ist das irgendein besonderer Satz? Kann mich an keinen solchen erinnnern.

LG

Bezug
                        
Bezug
Automorphismengruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Mo 20.08.2007
Autor: statler

Hi noch mal!

> Hey vielen Dank erstmal für deine Antwort! Aber ganz hab
> ich's noch nicht:
>  
> 1) [mm]\IZ/<29>[/mm] hat doch nicht 28, sondern 29 Elemente ?!

Jaja, aber nur 28 davon sind Erzeugende. Das neutrale Element - also die Null - nicht. Für jeden Homomorphismus zwischen Gruppen ist f(e) = e.

>  2) Kannst du mir zufällig sagen, woher du das hast, dass
> das ein Automorphismus durch das Bild eines erz. Elts
> festgelegt ist... ist das irgendein besonderer Satz? Kann
> mich an keinen solchen erinnnern.

Das wird eher so zwischendurch als Übungsaufgabe abgehandelt. Wenn f ein Homomorphismus ist und g ein erzeugendes El., dann sind [mm] g^{1}, [/mm] ... , [mm] g^{28}, g^{29} [/mm] = e alle Elemente. Aber es ist [mm] f(g^{n}) [/mm] = [mm] f(g)^{n}, [/mm] und damit steht f fest, wenn es auf einem Erzeuger feststeht. Wenn f ein Isomorphismus sein soll, müssen wegen der Bijektivität die [mm] f(g)^{n}'s [/mm] verschieden sein, was bedeutet, daß f(g) auch ein Erzeuger sein muß.

So verständlich?

Gruß
Dieter

>  
> LG


Bezug
                                
Bezug
Automorphismengruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Mo 20.08.2007
Autor: julia.k

Danke!!! So leuchtet mir das ein! Bin ich froh.

Schönen Tag noch!
glg Steffi

Bezug
                                        
Bezug
Automorphismengruppe: zweiter Teil der Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 05:05 Mi 05.09.2007
Autor: Sprockel

Hallo!
Ich hab ein ähnliches Problem mir leuchtet es aber das zweite Teil nicht ein.

>Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.

wie komme ich denn auf sowas?
Ich wäre da für eine hilfe sehr dankbar.

Herzliche Grüße,
Sprockel

Bezug
                                                
Bezug
Automorphismengruppe: Fahndungshinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Mi 05.09.2007
Autor: angela.h.b.


>  Ich hab ein ähnliches Problem mir leuchtet es aber das
> zweite Teil nicht ein.
>  
> >Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.
>  
> wie komme ich denn auf sowas?
> Ich wäre da für eine hilfe sehr dankbar.

Hallo,

[willkommenmr].

Ich kann Dir hierzu einen Fahndungshinweis geben.

Schau mal in Deinen schlauen Büchern/Skript dort nach, wo die endlichen Gruppen klassifiziert werden.

Da kommen auch Gruppen der Ordnung pq vor, p,q Primzahlen.

Hier mußt Du Dich insbesondere dem Fall p|(q-1) widmen, es wird gezeigt, daß es bis auf Isomorphie genau die eine nichtabelsch Gruppe der Ordnung pq gibt.

Gruß v. Angela





Bezug
                                                
Bezug
Automorphismengruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:50 Mi 05.09.2007
Autor: statler

Guten Morgen und [willkommenmr]

>  Ich hab ein ähnliches Problem mir leuchtet es aber das
> zweite Teil nicht ein.
>  
> >Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.
>  
> wie komme ich denn auf sowas?

Ein Ansatz findest du erstmal []hier

Kannst du das auf die gegebene Aufgabe umsetzen? Wenn ja, super, wenn nein, melde dich mit einer Frage, dann wird sich jemand finden, der dir weiterhilft.

Gruß aus HH-Hamburg
Dieter


Bezug
                                                
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Automorphismengruppe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:41 Fr 07.09.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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