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| Aufgabe | Bestimme [mm]Aut(L/k)[/mm].
a) [mm]L/k = \IQ(\sqrt{2},i)/\IQ[/mm] den Zerfällungskörper von [mm](X^2-2)(X^2+1)[/mm]
b) [mm]k=\IQ[/mm] und L=[mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm] |
Ich weiß, dass
[mm]Aut(L/k)=\{\phi \textrm{ Isomorphis mit} \; \phi|_k =id\}[/mm]
Würde ich raten, dann käme ich auf die Automorphismen:
id, komplexe Konjungtion, x -> -x
Kann mir bitte jemand am Beispiel erklären, wie das geht und warum man soetwas überhaupt macht. Irgendwie sollen die Nullstellen durchpermutiert werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Bestimme [mm]Aut(L/k)[/mm].
> a) [mm]L/k = \IQ(\sqrt{2},i)/\IQ[/mm] den Zerfällungskörper von
> [mm](X^2-2)(X^2+1)[/mm]
> b) [mm]k=\IQ[/mm] und L=[mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm]
>
> Ich weiß, dass
> [mm]Aut(L/k)=\{\phi \textrm{ Isomorphis mit} \; \phi|_k =id\}[/mm]
>
> Würde ich raten, dann käme ich auf die Automorphismen:
> id, komplexe Konjungtion, x -> -x
Also $x [mm] \mapsto [/mm] -x$ ist schonmal gar kein Automorphismus.
Die beiden anderen stimmen jedoch. Es gibt allerdings noch zwei weitere. Die Konjugation haelt [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ja fest.
> Kann mir bitte jemand am Beispiel erklären, wie das geht
> und warum man soetwas überhaupt macht. Irgendwie sollen
> die Nullstellen durchpermutiert werden.
Es gibt eigentlich schon genug Beispiele, auch hier im Forum.
Du schaust halt nach, auf was fuer Elemente die Erzeuger -- bei a) sind das [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und $i$ -- abgebildet werden koennen. Das sind gerade die Nullstellen des MiPos in der Koerpererweiterung (weisst du warum?). Dann schreibst du alle Moeglichkeiten (Permutationen) auf, wie du [mm] $(\sqrt{2}, [/mm] i)$ zu den anderen aendern kannst, und guckst ob es tatsaechlich solche Automorphismen gibt (das brauchst du hauptsaechlich bei mehr als einem Erzeuger -- bei einem Erzeuger ist es einfacher).
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Da klinke ich mich auch hier einmal ein:
Ich suche eine Abbildungen, die sozusagen die Nullstellen [mm]\{i,-i,\sqrt{2},-\sqrt{2}\}[/mm] permutieren.
Die Abbildungen id, komplexe konjugation hatten wir schon. Es fehlt also noch eine Abbildung [mm] $\sigma(\sqrt{2})=\sqrt{2}$.
[/mm]
Da würde ich die Konjugation in [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] nehmen mit:
[mm] $\sigma(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$
[/mm]
Das wäre ja auch ein Autmorphismus. Das wären dann drei. Du sagtes es sind vier. Fehlt dann noch [mm] $\rho(i)=\sqrt{2}$??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Da klinke ich mich auch hier einmal ein:
> > >
> > > Ich suche eine Abbildungen, die sozusagen die Nullstellen
> > > [mm]\{i,-i,\sqrt{2},-\sqrt{2}\}[/mm] permutieren.
> >
> > ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > Wobei man die nicht beliebig permutieren kann.
> >
> > > Die Abbildungen id, komplexe konjugation hatten wir schon.
> > > Es fehlt also noch eine Abbildung
> > > [mm]\sigma(\sqrt{2})=\sqrt{2}[/mm].
> >
> > Du hast da wohl ein Minus vergessen 
> Ja ok. Das fehlte da
> >
> > > Da würde ich die Konjugation in [mm]\IQ(\sqrt{2})[/mm] nehmen
> > > mit:
> > > [mm]\sigma(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}[/mm]
> > > Das wäre ja auch ein Autmorphismus. Das wären dann
> > drei.
> >
> > Und was ist [mm]\sigma(i)[/mm]? Wenn du das beantworten kannst, hast
> > du das Probem geloest:
> Anders ausgedrückt, muss ich also i darstellen als
> [mm]i=a+b\sqrt{2}[/mm] und schauen, was dabei herauskomment. Also
> [mm]\sigma(i)=\sigma((-\sqrt{2}b+i)+b\sqrt{2})=(-\sqrt{2}b+i)-\sqrt{2}[/mm]
Das geht eben gerade nicht.
Eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] vom Koerper ist durch $1, [mm] \sqrt{2}, [/mm] i, [mm] \sqrt{2} [/mm] i$ gegeben.
Du kannst [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] jeweils auf [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] oder [mm] $\sqrt{-2}$ [/mm] abbilden.
Und du kannst $i$ jeweils auf $i$ oder $-i$ abbilden.
Also gibt es doch hoechstens 4 Moeglichkeiten, das Paar [mm] $(\sqrt{2}, [/mm] i)$ auf etwas abzubilden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ich find den vierten Automorphismus nicht. Also probiere ich Teil b)
Hier sind die Nullstellen
[mm]1/2\,{2}^{3/4}+1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
[mm]1/2\,{2}^{3/4}-1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
[mm]-1/2\,{2}^{3/4}+1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
[mm]-1/2\,{2}^{3/4}-1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
Wobei ich wieder nur die Identität und die komplexe. Konjugation und Konj. bzgl. [mm] $\sqrt[3]{2^4}$ [/mm] finde. Hier gibt es aber nur drei.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich find den vierten Automorphismus nicht.
Du hast nichtmals den dritten genau angegeben. (Darin liegt vielleicht das Problem.)
Du musst fuer jeden Automorphismus sagen, was er mit $i$ und [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] macht: damit ist er eindeutig bestimmt.
> Also probiere
> ich Teil b)
>
> Hier sind die Nullstellen
> [mm]1/2\,{2}^{3/4}+1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
> [mm]1/2\,{2}^{3/4}-1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
> [mm]-1/2\,{2}^{3/4}+1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
> [mm]-1/2\,{2}^{3/4}-1/2\,i{2}^{3/4}[/mm]
Glaub ich nicht ganz.
Sei [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt[4]{2} \in \IR$; [/mm] dann sind [mm] $\alpha$, [/mm] $i [mm] \apha$, $i^2 \alpha$ [/mm] und [mm] $i^3 \alpha$ [/mm] die Nullstellen von [mm] $x^4 [/mm] - 2$ in [mm] $\IC$.
[/mm]
Welche davon liegen im Koerper [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2})$, [/mm] der vollstaendig in [mm] $\IR$ [/mm] enthalten ist?
> Wobei ich wieder nur die Identität und die komplexe.
> Konjugation
Das ist hier beides das gleiche, da der Koerper in [mm] $\IR$ [/mm] enthalten ist.
> und Konj. bzgl. [mm]\sqrt[3]{2^4}[/mm] finde.
Was verstehst du darunter?
Vielleicht mal ganz allgemein: Ist $K$ ein Koerper, $f [mm] \in [/mm] K[x]$ irreduzibel und $L = [mm] K(\alpha)$, [/mm] wobei [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ ist, dann gibt es eine Bijektion [mm] $Aut_K(L) \to \{ \beta \in K(\alpha) \mid f(\beta) = 0 \}$, [/mm] gegeben durch [mm] $\sigma \mapsto \sigma(\alpha)$.
[/mm]
Versuch dir mal zu ueberlegen, warum es eine Bijektion ist. Das hilft dir bei b) sicher weiter.
LG Felix
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