Automorphismengruppe endl. Kör < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei F/E eine Erweiterung endlicher Körper. Bestimmen Sie [mm] Aut_{F}(E). [/mm] |
Ich habe leider keinen Ansatz für diese Aufgabe.
[mm] Aut_{E}(F) [/mm] ist die Automorphismengruppe, d. h. die Menge aller Abbildungen [mm] \sigma:F\rightarrow [/mm] F, die auf E eingeschränkt die Identität sind. Wie gehe ich da vor? Ich weiß nur, dass die Identität natürlich in dieser Menge liegt, da die Aufgabe sehr allgemein gestellt ist, denke ich, dass eine einfache Lösung wie "nur die Identität ist in [mm] Aut_{E}(F) [/mm] enthalten" rauskommt.
Allerdings habe ich keine Idee. Gibt es einen Zusammenhang zum Frobeniushomomorphismus? Ich bitte euch um Hilfe!
Danke und lg
Kaffeetrinker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
da hast du jetzt entweder in der Aufgabenstellung oder in deinem Text F und E vertauscht... Grundsätzlich aber hast du recht, dass das einfach alle Automorphismen [mm] $\phi: [/mm] E [mm] \to [/mm] E$, die eingeschränkt auf F die idententität sind. Ich weiß nicht, was man da noch für Aussagen treffen kann, wenn sonst nix über die Körper bekannt ist...
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Sorry und danke für den Hinweis. Hab es oben korrigiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mo 19.11.2012 | | Autor: | hippias |
Ja, das Problem hat etwas mit dem Frobeniusautmorphismus zu tun. Aber der Reihe nach: Ein Automorphismus der Koerpererweiterung induziert einen Automorphismus der multiplikative Gruppe des Koerpers. Da dieser endliche ist, hat sie eine ganz bestimmte Struktur, die ihrerseits die Moeglichkeiten fuer Automorphismen stark einschraenkt.
Ferner induziert ein Koerperautomorphismus einen Automorphismus seiner additiven Gruppe, was weitere Einschraenkungen nach sich zieht. Dies zusammen sollte zur Loesung des Problems fuehren.
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