Ax=b < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:01 Fr 14.05.2004 | | Autor: | mausi201 |
Hallo ich würde gern mal wissen wie man diese Aufgabe ausrechnet
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax=b
mit Koeffizienten im endlichen Körper [mm] F_{7}
[/mm]
A =(1 1 -1 1 2 3
-----2 2 -3 5 3 0
-- --4 -3 4 1 2 -3)
b = (1
-----0
-----1)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo,es tut mir leid das ich doppelt gepostet habe...ich habe nur den Hinweis auf diese Seite gelesen und deswegen habe ich meine Frage dann hier rein gestellt.
Könnte mir trotzdem jemand helfen beim lösen dieser Aufgabe???
Als erstes würde ich gerne wissen wie ich die Matrix zwecks diesem [mm] F_7 [/mm] bearbeite,ich weiss das es etwas mit Restklassen zu tun hat,und das [mm] F_7 [/mm]
6 Restklassen hat
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
> Könnte mir trotzdem jemand helfen beim lösen dieser
> Aufgabe???
Hier im Forum wurden gerade zwei ganz ähnliche Aufgabenstellungen gepostet und vorgerechnet; vielleicht schaust du dir die erst mal an:
LGS über F5
LGS über F3
(ob diese Aufgaben richtig sind, weiß ich noch nicht, ich schaue sie mir jetzt aber an und korrigiere sie ggfs.)
> Als erstes würde ich gerne wissen wie ich die Matrix
> zwecks diesem [mm] F_7 [/mm] bearbeite,ich weiss das es etwas mit
> Restklassen zu tun hat,und das [mm] F_7 [/mm]
> 6 Restklassen hat
[mm] $F_7$ [/mm] müßte 7 Restklassen haben:
[mm] $\overline{0},\ldots,\overline{6}$
[/mm]
Wenn du dir die Aufgaben dort angesehen hast, kannst du ja deine Lösungsvorschläge hierhin schreiben.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
ich danke für den Hinweis,aber bevor ich lösen kann,wie muss denn x beschaffen sein um b zu erhalten???Wie stelle ich die Gleichungen auf???ich hätte ja quasi 4 Gleichungen mit 6 Variablen oder liege ich falsch???
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:29 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi!
Bitte poste in dem anderen Forum doch einen einen Link auf diese Diskussion hier, damit sich dort nicht auch jemand umsonst die Mühe macht, dir zu helfen.
> ich danke für den Hinweis,aber bevor ich lösen kann,wie
> muss denn x beschaffen sein um b zu erhalten???Wie stelle
> ich die Gleichungen auf???ich hätte ja quasi 4 Gleichungen
> mit 6 Variablen oder liege ich falsch???
Ja, genau das stimmt.
Das LGS in Matrixschreibweise:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 2 & -3 & 5 & 3 & 0 \\
\red{+}4 & -3 & 4 & 1 & 2 & -3
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\0\\1\end{pmatrix}[/mm]
und in Gleichungssystemschreibweise dann:
[mm] x_1+x_2-x_3+x_4-2x_5+3x_6=1
[/mm]
[mm] 2x_1+2x_2-3x_3+5x_4+3x_5=1
[/mm]
[mm] \red{+}4x_1-3x_2+4x_3+x_4+2x_5-3x_6=1
[/mm]
Im folgenden Diskussionsstrang wurde leider mit diesem LGS weitergerechnet
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 2 & -3 & 5 & 3 & 0 \\
\red{-}4 & -3 & 4 & 1 & 2 & -3
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\0\\1\end{pmatrix}[/mm]
Ab jetzt geht es genauso weiter wie in den anderen Aufgaben, zu denen ich ja bereits den Link angegeben hatte.
Zu erwarten ist natürlich keine eindeutige Lösung des LGS, sondern entweder keine oder mehrere Lösungen.
Probier's doch mal und poste uns deine Versuche/Ergebnisse.
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
bei soviel Variablen,kann man schlecht durch umformungen auf eine lösung kommen,ich muss also über den Gauss algorithmus da ran kommen über die Zeilenstufenform oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
bitte vergiß' den Hinweis nicht in dem anderen Forum.
> bei soviel Variablen,kann man schlecht durch umformungen
> auf eine lösung kommen,ich muss also über den Gauss
> algorithmus da ran kommen über die Zeilenstufenform
> oder???
Ja, genau.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
aber wie soll das gehen wo doch die Matrix mehr spalten als zeilen hat???
ich seh hier den wald vor lauter Bäumen nicht,und ich wette so ne aufgabe kommt in der prüfung im Juli dran,so ein mist..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi!
> aber wie soll das gehen wo doch die Matrix mehr spalten als
> zeilen hat???
die "überzähligen" Spalten ignorierst du einfach, führst aber trotzdem alle Rechenschritte an ihnen aus.
Du erhälst dann eine Koeffizentenmatrix in folgender Form:
[mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}
\blue{1} & 1 & -1 & 1 & 2 & 3 & 1\\
\blue{0} & \blue{1} & ? & ? & ? & ? & ?\\
\blue{0} & \blue{0} & \blue{1} & ? & ? & ? & ?
\end{array}\right)[/mm]
> ich seh hier den wald vor lauter Bäumen nicht,und ich
Diese Umformungen haben übrigens nichts mit dem Körper [mm] $F_7$ [/mm] zu tun, sondern sind nur das normale Gauß-Verfahren. Das solltest du dir vielleicht vorher nochmal ansehen, damit bei dieser Aufgabe nicht so viel Neues auf dich einwirkt...
> wette so ne aufgabe kommt in der prüfung im Juli dran,so
> ein mist..
Das ist doch gut, die Aufgabe ist ja schließlich nicht schwierig 
Probier's doch noch mal.
Als Zugabe noch deine ersten beiden Umformungsschritte:
Multipliziere die erste Gleichung/Zeile mit -2 (bzw. 5) und addiere sie zu der zweiten Zeile. Dann habn wir dort in der ersten Spalte eine 0 stehen.
Nun multiplizierst du die erste (Original-) Gleichung mit 4 und addierst sie zu der dritten Zeile. Dort haben wir wieder eine 0.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
ich darf doch Zeilen vertauschen???
1 1 -1 1 2 3|1
0 1 0 5 10 9|5
0 0 1 -3 1 6|2
ist das denn richtig??? und wenn ja wie gehts dann weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi!
> ich darf doch Zeilen vertauschen???
Klar.
> 1 1 -1 1 2 3|1
> 0 1 0 5 10 9|5
> 0 0 1 -3 1 6|2
>
> ist das denn richtig???
Bitte poste deine Rechenschritte, da ich es anders nur umständlich überprüfen kann.
> und wenn ja wie gehts dann weiter
Also angenommen, deine Lösung sei richtig.
Dann versuchst du, an den blauen Stellen auch noch 0en hinzubekommen:
1 1 -1 1 2 3|1
0 1 0 5 10 9|5
0 0 1 -3 1 6|2
Das kannst du z.B. erreichen, indem du ein geeignetes Vielfaches der dritten Zeile zur ersten addierst, und dann ein geeignetes Vielfaches der zweiten zur ersten.
Dann können wir die Lösungsmenge direkt notieren, aber vielleicht postest du besser erst noch deine Rechenschritte.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
Also
1 1 -1 1 2 3|1
2 2 -3 5 3 0|0
-4 -3 4 1 2 -3|1
ich habe die erste Zeile mal (-2) gerechnet und dann zur zweiten addiert
dann komm ich auf
1 1 -1 1 2 3| 1
0 0 -1 3 -1 -6|-2
-4 -3 4 1 2 -3| 1
dann habe ich die 1. mal 4 gerechnet und zur 3. addiert
1 1 -1 1 2 3| 1
0 0 -1 3 -1 -6|-2
0 1 0 5 10 9| 5
dann habe ich die 2. mit der 3. Zeile vertauscht
1 1 -1 1 2 3| 1
0 1 0 5 10 9| 5
0 0 -1 3 -1 6|-2
dann habe ich die 3. mal (-1) gerechnet
1 1 -1 1 2 3|1
0 1 0 5 10 9|5
0 0 1 -3 1 6|2
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi!
> 1 1 -1 1 2 3|1
> 2 2 -3 5 3 0|0
> -4 -3 4 1 2 -3|1
>
> ich habe die erste Zeile mal (-2) gerechnet und dann zur
> zweiten addiert
> dann komm ich auf
> 1 1 -1 1 2 3| 1
> 0 0 -1 3 -1 -6|-2
> -4 -3 4 1 2 -3| 1
>
> dann habe ich die 1. mal 4 gerechnet und zur 3. addiert
> 1 1 -1 1 2 3| 1
> 0 0 -1 3 -1 -6|-2
> 0 1 0 5 10 9| 5
>
> dann habe ich die 2. mit der 3. Zeile vertauscht
> 1 1 -1 1 2 3| 1
> 0 1 0 5 10 9| 5
> 0 0 -1 3 -1 6|-2
Hier hast du beim Abtippen ein Minuszeichen in der letzten Zeile vergessen (-6), aber hier stimmt es ja wieder:
> dann habe ich die 3. mal (-1) gerechnet
> 1 1 -1 1 2 3|1
> 0 1 0 5 10 9|5
> 0 0 1 -3 1 6|2
>
> ist das so richtig?
Ja, das ist richtig.
Jetzt adddierst du noch die dritte Zeile zur ersten, und dann
das (-1)-fache der zweiten zur ersten.
Dann steht im linken 3x3-Block die Einheitsmatrix und wir sind fast fertig.
Ich würde dann noch die alle Zahlen modulo 7 rechnen, da wir ja in [mm] $F_7$ [/mm] sind.
Um die Lösungsmenge anzugeben, wandle die Koeffizientenmatrix in drei Gleichungen um, ich mache es mal für die letzte Gleichung:
0 0 1 -3 1 6 | 2
[mm] $\gdw\ x_3-3x_4+x_5+6x_6=2$
[/mm]
Diese Gleichung löse ich nach [mm] $x_3$ [/mm] auf (die zweite löst du dann nach [mm] x_2 [/mm] auf und die erste nach [mm] $x_1$).
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_3=2+3x_4-x_5-6x_6$
[/mm]
Für deine "Deine" Gleichungen erhältst du:
[mm] $x_2=\ldots$
[/mm]
[mm] $x_1=\ldots$
[/mm]
Ein Lösungstupel kann dann geschrieben werden als:
[mm] $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(\ldots,\ldots,2+3x_4-x_5-6x_6,x_4,x_5,x_6)$
[/mm]
Die Lösungsmenge lautet dann:
[mm] $\IL=\{(\ldots,\ldots,2+3x_4-x_5-6x_6,x_4,x_5,x_6)\in F_7^6\ |\ x_4,x_5,x_6\in F_7\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
ich hätte also
1 0 0 -7 -7 0|-2
0 1 0 5 10 9|5
0 0 1 -3 1 6|2
und müsste
-7 mod 7 =0
0 mod 7 = 0
-2 mod 7= 5 ?
5 mod 7 = 2
10 mod 7=3
9 mod 7=2
5 mod 7=2
-3 mod 7=4
stimmt das so???
1 mod 7
6 mod 7
2 mod 7
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
erste zeile
1 0 0 -7 -7 0|-2
wenn ich alle Koeffizienten (mod 7) nehme
1 0 0 0 0 0|-2
[mm] x_1 [/mm] = 5?
zweite Zeile
0 1 0 5 10 9|5
(mod7)
0 1 0 5 3 2|5
[mm] x_2 [/mm] + [mm] 5x_4 [/mm] + [mm] 3x_5 [/mm] + [mm] 2x_6 [/mm] = 5
dritte zeile
0 0 1 -3 1 6|2
(mod7)
0 0 1 -3 1 6|2
[mm] x_3 [/mm] - [mm] 3x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] + [mm] 6x_6 [/mm] = 2
stimmts?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
also
L [mm] ={(-2,-5x_4-3x_5-2x_6+5,2+3x_4-x_5-6x_6)e F_7|x_4,x_5,x_6 e F_7}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
> erste zeile
> 1 0 0 -7 -7 0|-2
> wenn ich alle Koeffizienten (mod 7) nehme
> 1 0 0 0 0 0|-2
$-2 [mm] \pmod{7}\equiv5$
[/mm]
> [mm] x_1 [/mm] = 5?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zweite Zeile
> 0 1 0 5 10 9|5
> (mod7)
> 0 1 0 5 3 2|5
> [mm] x_2 [/mm] + [mm] 5x_4 [/mm] + [mm] 3x_5 [/mm] + [mm] 2x_6 [/mm] = 5
[mm] $\gdw\ x_2 [/mm] = 5 [mm] +2x_4 [/mm] + 4_x5 + [mm] 5x_6$
[/mm]
> dritte zeile
> 0 0 1 -3 1 6|2
> (mod7)
> 0 0 1 -3 1 6|2
[mm] $-3\pmod{7}\equiv [/mm] 4$
> [mm] x_3 [/mm] - [mm] 3x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] + [mm] 6x_6 [/mm] = 2
[mm] $x_3 +4x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] + [mm] 6x_6 [/mm] = 2$
[mm] $\gdw\ x_3=2+3x_4+6x_5+x_6$
[/mm]
>
> stimmts?
Ja!
> L [mm] =\{(-2,-5x_4-3x_5-2x_6+5,2+3x_4-x_5-6x_6)e F_7|x_4,x_5,x_6 e F_7\}
[/mm]
Das stimmt so ungefähr. Die Zahlen wie oben besser [mm] $\pmod{7}$ [/mm] angeben. Ausserdem hast du die drei Variablen [mm] $x_4,x_5,x_6$ [/mm] gar nicht in deinem Lösungstutel angegeben.
Lösungsmenge ist [mm] $\IL=\{(5,\ 5 +2x_4 + 4x_5 + 5x_6,\ 2+3x_4+6x_5+x_6,\ \red{x_4,\ x_5,\ x_6})\in F_7^6\ |\ x_4,x_5,x_6\in F_7\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
ich danke dir vielmals Marc
eine Frage noch,jemand anderes meinte die Aufgabe hat keine Lösung....
und das gleiche in [mm] F_2 [/mm] ergäbe 8 Vektoren...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
> ich danke dir vielmals Marc
> eine Frage noch,jemand anderes meinte die Aufgabe hat
> keine Lösung....
Nun, unsere Lösung ist tatsächlich nicht richtig, denn das Lösungselement $(5,5,2,0,0,0)$ löst das ursprüngliche LGS nicht, sondern dieses hier (ich habe da einen deiner Gedankenstriche in der dritten Zeile als Minuszeichen missdeutet), mit dem du hier weiter gerechnet hast.
Das heißt: Unsere Rechnung waren eine sehr gute Übung für das eigentlich zu lösende LGS
Probier's doch bitte nochmal, es dürfte ja jetzt nicht mehr schwierig sein...
Gleichzeitig entschuldige ich mich natürlich dafür, dass ich das LGS falsch abgetippt habe...
> und das gleiche in [mm] F_2 [/mm] ergäbe 8 Vektoren...
Das kann durchaus sein.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
kein problem,danke marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 17.05.2004 | | Autor: | mausi |
ich kann ja eigentlich auch schon in der ausgangsmatrix (mod 7) rechnen
dann bekomme ich doch
1 1 6 1 2 3|1
2 2 4 5 3 0|0
4 4 4 1 2 4|1
1.mal (-2) +2.
1 1 6 1 2 3| 1
0 0 -8 3 -1 -6|-2
4 4 4 1 2 4| 1
1.mal (-4)+3.
1 1 6 1 2 3| 1
0 0 - 8 3 -1 -6|-2
0 0 -20 -3 -6 -8|-3
und dann kann man ja nicht weiter lösen,stimmts???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
eine Bitte: Wenn du eine Reaktion von einem MatheRaum-Mitglied erhalten willst, schreibe bitte eine Frage, keine Mitteilung.
> ich kann ja eigentlich auch schon in der ausgangsmatrix
> (mod 7) rechnen
ja, klar.
> dann bekomme ich doch
> 1 1 6 1 2 3|1
> 2 2 4 5 3 0|0
> 4 4 4 1 2 4|1
>
> 1.mal (-2) +2.
> 1 1 6 1 2 3| 1
> 0 0 -8 3 -1 -6|-2
> 4 4 4 1 2 4| 1
>
> 1.mal (-4)+3.
> 1 1 6 1 2 3| 1
> 0 0 - 8 3 -1 -6|-2
> 0 0 -20 -3 -6 -8|-3
>
> und dann kann man ja nicht weiter lösen,stimmts???
Das glaube ich dir nicht, dass du das jetzt schon siehst 
Addiere erst die letzte Zeile zur zweiten, rechne alles [mm] $\pmod{7}$ [/mm] und dann siehst du es
Schreibe uns doch auch noch die Begründung, warum du meinst, dass es keine Lösung gäbe.
Bis später,
Marc
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http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001035&read=1&kat=Studium&PHPSESSID=31da9a1068af3d0f2310d01531792c30