Axiome anwenden < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Zeige, dass aus dem Extensionalitätsprinzip, den Mengenexistenzprinzipien
und den zusätzichen Mengenaxiomen die folgenden Aussagen folgen:
a) Für jede Menge $S$ gilt $S [mm] \not\in [/mm] S$.
b) Die Kollektion aller mathematischen Objekte $U$ und die Kollektion
aller Mengen $S$ sind selber keine Mengen. |
a) Hier habe ich lediglich die Idee, dass ich das Regularity Axiom irgendwie anwenden muss.
Dies besagt: Falls eine Menge $S$ ein Element beinhaltet, dann beinhaltet sie ein Element welches minimal ist im Hinblick auf die [mm] $\in$-Relation, [/mm] d.h.
[mm] $\exists [/mm] x (x [mm] \in [/mm] S) [mm] \Rightarrow (\exists [/mm] y [mm] \in S)(\forall [/mm] y [mm] \in S)(\forall [/mm] z [mm] \in [/mm] S)(z [mm] \not\in [/mm] y)$
Aber wie mache ich das und wie komme ich weiter?
Zu b) habe ich noch keine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 So 02.10.2011 | | Autor: | hippias |
> Zeige, dass aus dem Extensionalitätsprinzip, den
> Mengenexistenzprinzipien
> und den zusätzichen Mengenaxiomen die folgenden Aussagen
> folgen:
> a) Für jede Menge [mm]S[/mm] gilt [mm]S \not\in S[/mm].
> b) Die Kollektion
> aller mathematischen Objekte [mm]U[/mm] und die Kollektion
> aller Mengen [mm]S[/mm] sind selber keine Mengen.
> a) Hier habe ich lediglich die Idee, dass ich das
> Regularity Axiom irgendwie anwenden muss.
> Dies besagt: Falls eine Menge [mm]S[/mm] ein Element beinhaltet,
> dann beinhaltet sie ein Element welches minimal ist im
> Hinblick auf die [mm]\in[/mm]-Relation, d.h.
> [mm]\exists x (x \in S) \Rightarrow (\exists y \in S)(\forall y \in S)(\forall z \in S)(z \not\in y)[/mm]
>
> Aber wie mache ich das und wie komme ich weiter?
>
> Zu b) habe ich noch keine Idee.
zu a) Sei $T:= [mm] \{S\}$. [/mm] Dann ist [mm] $T\neq \emptyset$ [/mm] Menge und nach diesem Regularitaets-Prinzip gibt es ein [mm] $X\in [/mm] T$ so, dass fuer alle [mm] $Y\in [/mm] T$ gilt, dass [mm] $Y\not\in [/mm] X$. Da $T$ einelementig ist, folgt [mm] $S\not\in [/mm] S$.
zu b) Hier koennte die Russel'sche Antinomie helfen.
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