B- Splines Faltung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Faltung von f,g ist definiert als: [mm] (f*g)(x)=\integral_{\IR}^{}{f(y)g(x-y) dy}
[/mm]
[mm] N_1(x):=\begin{cases}1, & \mbox{für } 0<=x<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] N_k(x):=(N_{k-1}*N_1)(x)
[/mm]
Bestimme [mm] N_k(x) [/mm] für k=1,..,4 |
Hallo, es geht hier um eine alternative um die B-Splines zu berechnen. Ich verstehe hier aber nicht so ganz wie das Produkt an gewissen Stellen zu schreiben ist.
Wenn ich [mm] N_2 [/mm] berechnen will ist das ja die Faltung von [mm] N_1 [/mm] mit sich selbst, sprich: [mm] \integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(x-y) dy} [/mm]
Nur wie sieht [mm] N_1(y)N_1(x-y) [/mm] genau aus? Ich kann mir das nicht sauber aufschreiben.. Ich habe das mal mithilfe der Definition versucht:
[mm] N_1(y)N_1(x-y) [/mm] = [mm] \begin{cases}N1(x-y), & \mbox{für } 0<=y<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
Ich find das total wirr und weiß nicht wie ich das weiter schreiben soll um es dann zu integrieren.
Bitte um ein wenig Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kullinarisch!
> Die Faltung von f,g ist definiert als:
> [mm](f*g)(x)=\integral_{\IR}^{}{f(y)g(x-y) dy}[/mm]
>
>
> [mm]N_1(x):=\begin{cases}1, & \mbox{für } 0<=x<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]N_k(x):=(N_{k-1}*N_1)(x)[/mm]
>
> Bestimme [mm]N_k(x)[/mm] für k=1,..,4
> Hallo, es geht hier um eine alternative um die B-Splines
> zu berechnen. Ich verstehe hier aber nicht so ganz wie das
> Produkt an gewissen Stellen zu schreiben ist.
>
> Wenn ich [mm]N_2[/mm] berechnen will ist das ja die Faltung von [mm]N_1[/mm]
> mit sich selbst, sprich: [mm]\integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(x-y) dy}[/mm]
>
> Nur wie sieht [mm]N_1(y)N_1(x-y)[/mm] genau aus? Ich kann mir das
> nicht sauber aufschreiben.. Ich habe das mal mithilfe der
> Definition versucht:
>
> [mm]N_1(y)N_1(x-y)[/mm] = [mm]\begin{cases}N1(x-y), & \mbox{für } 0<=y<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Ich find das total wirr und weiß nicht wie ich das weiter
> schreiben soll um es dann zu integrieren.
> Bitte um ein wenig Hilfe.
Der Anfang sieht doch schon gut aus.
Schreibe nun [mm] $N_1(x-y)$ [/mm] anhand der Definition aus:
[mm] $N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ für }0\le x-y<1\\0,&\text{sonst}\end{cases}=\begin{cases}1,&\text{ für }x-1
Also gilt
[mm] $N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y<1\text{ und }x-1
Unterscheide dann verschiedene Fälle für $x$ (z.B. [mm] $x\ge1$) [/mm] und gib jeweils an, in welchem Intervall [mm] $y\mapsto N_1(y)N_1(x-y)$ [/mm] den Wert 1 annimmt.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo kullinarisch!
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>
> > Die Faltung von f,g ist definiert als:
> > [mm](f*g)(x)=\integral_{\IR}^{}{f(y)g(x-y) dy}[/mm]
> >
> >
> > [mm]N_1(x):=\begin{cases}1, & \mbox{für } 0<=x<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [mm]N_k(x):=(N_{k-1}*N_1)(x)[/mm]
> >
> > Bestimme [mm]N_k(x)[/mm] für k=1,..,4
> > Hallo, es geht hier um eine alternative um die
> B-Splines
> > zu berechnen. Ich verstehe hier aber nicht so ganz wie das
> > Produkt an gewissen Stellen zu schreiben ist.
> >
> > Wenn ich [mm]N_2[/mm] berechnen will ist das ja die Faltung von [mm]N_1[/mm]
> > mit sich selbst, sprich: [mm]\integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(x-y) dy}[/mm]
> >
> > Nur wie sieht [mm]N_1(y)N_1(x-y)[/mm] genau aus? Ich kann mir das
> > nicht sauber aufschreiben.. Ich habe das mal mithilfe der
> > Definition versucht:
> >
> > [mm]N_1(y)N_1(x-y)[/mm] = [mm]\begin{cases}N1(x-y), & \mbox{für } 0<=y<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
> >
> > Ich find das total wirr und weiß nicht wie ich das weiter
> > schreiben soll um es dann zu integrieren.
> > Bitte um ein wenig Hilfe.
> Der Anfang sieht doch schon gut aus.
>
> Schreibe nun [mm]N_1(x-y)[/mm] anhand der Definition aus:
>
> [mm]N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ für }0\le x-y<1\\0,&\text{sonst}\end{cases}=\begin{cases}1,&\text{ für }x-1
>
> Also gilt
>
> [mm]N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y<1\text{ und }x-1
>
> Unterscheide dann verschiedene Fälle für [mm]x[/mm] (z.B. [mm]x\ge1[/mm])
> und gib jeweils an, in welchem Intervall [mm]y\mapsto N_1(y)N_1(x-y)[/mm]
> den Wert 1 annimmt.
Hi, danke für die Antwort. Also wenn man sich das x genauer anschaut kann es nur zwischen 0 und 2 sein und man kann das dann so schreiben:
[mm] N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y<1\text{ und }x-1
Weiter weiß ich einfach nicht. Ich könnte jetzt für x verschiedene Werte setzen aber eigentlich bringt die letzte Ungleichungskette doch alles auf den Punkt. Nur hilfreich ist das auch nicht. Wie kann man das weiter auseinander nehmen?
Grüße
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also wenn man sich das x
> genauer anschaut kann es nur zwischen 0 und 2 sein und man
> kann das dann so schreiben:
>
> [mm]N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y<1\text{ und }x-1
Das erste Gleichheitszeichen stimmt.
Das zweite Gleichheitszeichen stimmt nicht: Rechts kommt z.B. für [mm]x=0[/mm], [mm]y=-1[/mm] der Wert 1 heraus, links jedoch der Wert 0.
Ziel ist, [mm]y\mapsto N_1(y)N_1(x-y)[/mm] für jedes einzelne [mm]x[/mm] so gut zu verstehen, dass du siehst, wie lang das Intervall ist, auf dem die Funktion den Wert 1 annimmt.
Dann kannst du sie leicht integrieren.
Etwa für [mm]x<0[/mm] gilt
[mm]N_1(y)N_1(x-y)=0[/mm]
für alle [mm]y\in\IR[/mm].
Damit ist auch
[mm](N_1*N_1)(x)=\int_\IR N_1(y)N_1(x-y)\;dy=0[/mm]
für [mm]x<0[/mm].
Für [mm]0\le x<1[/mm] gilt
[mm]N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y\le x\\0,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
für alle [mm] $y\in\IR$.
[/mm]
Damit gilt
[mm] $(N_1*N_1)(x)=1*(x-0)=x$
[/mm]
für [mm] $0\le [/mm] x<1$.
Betrachte du nun noch die Fälle [mm] $1\le [/mm] x<2$ und [mm] $x\ge [/mm] 2$.
Viele Grüße
Tobias
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> > Also wenn man sich das x
> > genauer anschaut kann es nur zwischen 0 und 2 sein und
> man
> > kann das dann so schreiben:
> >
> > [mm]N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y<1\text{ und }x-1
>
> Das erste Gleichheitszeichen stimmt.
> Das zweite Gleichheitszeichen stimmt nicht: Rechts kommt
> z.B. für [mm]x=0[/mm], [mm]y=-1[/mm] der Wert 1 heraus, links jedoch der
> Wert 0.
>
> Ziel ist, [mm]y\mapsto N_1(y)N_1(x-y)[/mm] für jedes einzelne [mm]x[/mm] so
> gut zu verstehen, dass du siehst, wie lang das Intervall
> ist, auf dem die Funktion den Wert 1 annimmt.
> Dann kannst du sie leicht integrieren.
>
> Etwa für [mm]x<0[/mm] gilt
>
> [mm]N_1(y)N_1(x-y)=0[/mm]
>
> für alle [mm]y\in\IR[/mm].
>
> Damit ist auch
>
> [mm](N_1*N_1)(x)=\int_\IR N_1(y)N_1(x-y)\;dy=0[/mm]
>
> für [mm]x<0[/mm].
>
> Für [mm]0\le x<1[/mm] gilt
>
> [mm]N_1(y)N_1(x-y)=\begin{cases}1,&\text{ falls }0\le y\le x\\0,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> für alle [mm]y\in\IR[/mm].
>
> Damit gilt
>
> [mm](N_1*N_1)(x)=1*(x-0)=x[/mm]
>
> für [mm]0\le x<1[/mm].
>
>
> Betrachte du nun noch die Fälle [mm]1\le x<2[/mm] und [mm]x\ge 2[/mm].
Ok für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 gilt auch [mm] N_1*N_1(x)=x [/mm] falls x-1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x.
Und für x [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] N_1*N_1(x)=0 [/mm] für alle y.
Damit insgesamt also:
[mm] N_2(x)=\begin{cases}x,&\text{ falls }0\le y<1\text{ und } 0 \le x < 2\text \\&\text{sonst}\end{cases}
[/mm]
Aber das scheint nicht ganz mit dem B- Spline [mm] N_{0,2} [/mm] übereinzustimmen, den man mit der herkömmlichen Rekursion erzeugt. Habe ich da jetzt einen Fehler gemacht?
Gruß kulli
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Betrachte du nun noch die Fälle [mm]1\le x<2[/mm] und [mm]x\ge 2[/mm].
>
> Ok für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 gilt auch [mm]N_1*N_1(x)=x[/mm] falls x-1 [mm]\le[/mm]
> y [mm]\le[/mm] x.
Nein. [mm](N_1*N_1)(x)[/mm] hängt doch nicht von irgendeinem [mm]y[/mm] ab.
Was hast du denn für [mm]y\mapsto N_1(y)N_1(x-y)[/mm] für festes [mm]1\le x<2[/mm] heraus?
Vielleicht hilft es dir, zunächst das Beispiel [mm]x=1,5[/mm] zu betrachten.
> Und für x [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]N_1*N_1(x)=0[/mm] für alle y.
Ja, es gilt [mm](N_1*N_1)(x)=0[/mm] für alle [mm]x\ge 2[/mm].
Das "für alle y" ist wieder Quatsch.
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> > > Betrachte du nun noch die Fälle [mm]1\le x<2[/mm] und [mm]x\ge 2[/mm].
>
> >
> > Ok für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 gilt auch [mm]N_1*N_1(x)=x[/mm] falls x-1
> [mm]\le[/mm]
> > y [mm]\le[/mm] x.
> Nein. [mm](N_1*N_1)(x)[/mm] hängt doch nicht von irgendeinem [mm]y[/mm]
> ab.
Ach ja sehe es ein..
> Was hast du denn für [mm]y\mapsto N_1(y)N_1(x-y)[/mm] für festes
> [mm]1\le x<2[/mm] heraus?
>
> Vielleicht hilft es dir, zunächst das Beispiel [mm]x=1,5[/mm] zu
> betrachten.
ok x = 1.5:
[mm] N_1(y)N_1(1.5-y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0.5 < y < 1 \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
Und damit [mm] \integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(1.5-y) dy} [/mm] = 1 -0.5 = 0.5.
... ah so jetzt klingelts.
[mm] 1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2:
[mm] N_1(y)N_1(1.5-y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x-1 < y < 1 \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
[mm] \integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(x-y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{x-1}^{1}dy [/mm] = 1 -(x-1) = 2- x.
Passt! Danke!
> > Und für x [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]N_1*N_1(x)=0[/mm] für alle y.
> Ja, es gilt [mm](N_1*N_1)(x)=0[/mm] für alle [mm]x\ge 2[/mm].
> Das "für
> alle y" ist wieder Quatsch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ok x = 1.5:
>
> [mm]N_1(y)N_1(1.5-y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0.5 < y < 1 \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Und damit [mm]\integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(1.5-y) dy}[/mm] = 1 -0.5
> = 0.5.
>
> ... ah so jetzt klingelts.
>
> [mm]1\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2:
>
> [mm]N_1(y)N_1(1.5-y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x-1 < y < 1 \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\IR}^{}{N_1(y)N_1(x-y) dy}[/mm] =
> [mm]%5Cintegral_%7Bx-1%7D%5E%7B1%7Ddy[/mm] = 1 -(x-1) = 2- x.
> Passt! Danke!
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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