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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 05.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen, schon wieder ich ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]") es wird Zeit, dass das Vordiplom rum ist 
So, ich bin jetzt bei Bézier-Technik angekommen, und hab schon bei der ersten Definition Probleme, mir das Vorzustellen...
Hier die Definition:
Ein Polynom (oder eine Polynomiale Kurve) vom Grad n in [mm] \IR^d [/mm] ist eine Funktion P der Form [mm] P:\IR\to\IR^d [/mm] mit [mm] P(t)=\summe_{i=0}^{n}a_it^i [/mm] mit [mm] a_0,...,a_n\in\IR^d, a_n\not=0
[/mm]
Hmm, ich hab irgendwie Probleme, mir das geometrisch vorzustellen.
Also ich habe dann hier ein Polynom mit mehrdimensionalen Koeffizienten und wenn ich ein t wähle, erhalte ich einen mehrdimensionalen Punkt.
Irgendwie vermute ich, dass ich z.B. für [mm]\ d=2[/mm] eine Kurve habe, die sich im [mm] \IR^2 [/mm] befindet.
Aber rein graphisch kann ich mir da keinen Unterschied zu einem "normalen" eindimensionalen Polynom vorstellen, dass ich im Endeffekt ja auch in den [mm] \IR^2 [/mm] zeichen.
Wo ist der Unterschied?
Kann es bei [mm]\ d=2[/mm] vielleicht zu einen t mehrere Funktionswerte [mm]\ P(t)[/mm] geben (was es ja sonst nicht gibt), also z.B. dass ich in mein [mm] \IR^2-Koordinatensystem [/mm] eine Funktion zeichen kann, die aussieht wie ein [mm]\ S[/mm] ?
Hat vielleicht einer ein (graphisches) Beispiel?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 05.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen, schon wieder ich es wird Zeit,
> dass das Vordiplom rum ist
>
> So, ich bin jetzt bei Bézier-Technik angekommen, und hab
> schon bei der ersten Definition Probleme, mir das
> Vorzustellen...
> Hier die Definition:
>
> Ein Polynom (oder eine Polynomiale Kurve) vom Grad n in
> [mm]\IR^d[/mm] ist eine Funktion P der Form [mm]P:\IR\to\IR^d[/mm] mit
> [mm]P(t)=\summe_{i=0}^{n}a_it^i[/mm] mit [mm]a_0,...,a_n\in\IR^d, a_n\not=0[/mm]
>
> Hmm, ich hab irgendwie Probleme, mir das geometrisch
> vorzustellen.
> Also ich habe dann hier ein Polynom mit mehrdimensionalen
> Koeffizienten und wenn ich ein t wähle, erhalte ich einen
> mehrdimensionalen Punkt.
> Irgendwie vermute ich, dass ich z.B. für [mm]\ d=2[/mm] eine Kurve
> habe, die sich im [mm]\IR^2[/mm] befindet.
> Aber rein graphisch kann ich mir da keinen Unterschied zu
> einem "normalen" eindimensionalen Polynom vorstellen, dass
> ich im Endeffekt ja auch in den [mm]\IR^2[/mm] zeichen.
> Wo ist der Unterschied?
Hallo,
der Verlauf der Windungen eines Korkenziehers in Raum muss z.B. schon dreidimensional beschrieben werden. Oder: nimm dir eine Projektionsfolie, male eine Parabel auf und rolle die Folie um einen Eimer herum... Dreidimensional gibt es alsoverständliche Beispiele.
Solche Kurven von einer Dimension größer 3 entziehen sich unserem Vorstellungsvermögen, weil wir nun mal nur im [mm] R^3 [/mm] leben.
Gruß Abakus
> Kann es bei [mm]\ d=2[/mm] vielleicht zu einen t mehrere
> Funktionswerte [mm]\ P(t)[/mm] geben (was es ja sonst nicht gibt),
> also z.B. dass ich in mein [mm]\IR^2-Koordinatensystem[/mm] eine
> Funktion zeichen kann, die aussieht wie ein [mm]\ S[/mm] ?
> Hat vielleicht einer ein (graphisches) Beispiel?
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 05.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo abakus!
> Hallo,
> der Verlauf der Windungen eines Korkenziehers in Raum muss
> z.B. schon dreidimensional beschrieben werden. Oder: nimm
> dir eine Projektionsfolie, male eine Parabel auf und rolle
> die Folie um einen Eimer herum... Dreidimensional gibt es
> alsoverständliche Beispiele.
> Solche Kurven von einer Dimension größer 3 entziehen sich
> unserem Vorstellungsvermögen, weil wir nun mal nur im [mm]R^3[/mm]
> leben.
Alles klar!
Heißt das also, das auch meine Vermutung mit dem [mm]\ S[/mm] und dem [mm] \IR^2 [/mm] richtig war?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ja, das heißt es. Ein S ist möglich, aber auch andere Kurven, die normalerweise nicht als Funktion y(x) darstellbar wären (bzw. mit mehr Variablen im [mm] \IR^n [/mm] ).
Die Kurve liegt ja in Parameterdarstellung vor, da ist halt einiges möglich, wenn auch nicht alles, da ja nur Polynome erlaubt sind.
Hier ein Beispiel zur Veranschaulichung.
Ich habe zwei einfache Parabeln im Bereich [mm] 0\le x\le1 [/mm] gezeichnet. Die Funktionsdefinitionen stehen darunter:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie Du siehst, haben beide in diesem Bereich mindestens eine Nullstelle, so dass positive und negative Funktionswerte vorliegen. Außerdem haben beide ihren Scheitelpunkt ebenfalls in diesem Bereich, so dass Funktionswerte doppelt vorkommen.
Nehmen wir nun die horizontale Achse für den Parameter t, die rote Kurve als Funktion x(t) und die grüne als y(t).
Was für eine Darstellung würdest du nun erwarten? Es gibt ja offenbar jede Paarung x,y mit +/+, +/-, -/+, -/-. Es werden also von der darzustellenden Kurve in x,y alle vier Quadranten durchlaufen. Aber wie sieht sie aus?
Wenn Du willst, denk erst drüber nach, bevor Du runterscrollst.
Hier eine Darstellung mit Excel.
t=0 beginnt im 1. Quadranten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Soooo langweilig...
Soweit ich weiß, sind die so darzustellenden Kurven in der Tat immer vom Grad des mehrdimensionalen Polynoms, aber eben u.U. im Koordinatensystem gedreht, so wie hier. Ich kann mich aber nicht mehr erinnern, wie man das beweist. Insofern behandelst Du das besser nicht als verlässliche Information.
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo reverend!
Erstmal danke für deine Antwort, es ist ja nun doch schon was her *schäm*.
Ich muss aber doch nochmal ein paar Fragen dazu stellen.
Erst dachte ich, es war mir klar, aber beim wiederholten Durcharbeiten stellte ich fest, dass es doch nicht so ist *grummel*
> Nehmen wir nun die horizontale Achse für den Parameter t,
> die rote Kurve als Funktion x(t) und die grüne als y(t).
> Was für eine Darstellung würdest du nun erwarten?
Was genau meinst du mit Darstellung?
Meinst du die Funktionsvorschrift, die ich benötige, die die grüne Funktion und die rote Funktion in einer Vorschrift beschreibt?
> Hier eine Darstellung mit Excel.
> t=0 beginnt im 1. Quadranten.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hmm, ich weiß nicht so ganz, was mir dieses Bild sagen soll ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Ich sehe irgendwie keinen Zusammenhang zwischen diesem Bild und den beiden Parabeln da oben ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG, Nadine
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> > Nehmen wir nun die horizontale Achse für den Parameter t,
> > die rote Kurve als Funktion x(t) und die grüne als y(t).
> > Was für eine Darstellung würdest du nun erwarten?
>
> Was genau meinst du mit Darstellung?
> Meinst du die Funktionsvorschrift, die ich benötige, die
> die grüne Funktion und die rote Funktion in einer
> Vorschrift beschreibt?
> > Hier eine Darstellung mit Excel.
> > t=0 beginnt im 1. Quadranten.
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hmm, ich weiß nicht so ganz, was mir dieses Bild sagen soll
>
>
> Ich sehe irgendwie keinen Zusammenhang zwischen diesem Bild
> und den beiden Parabeln da oben
Hallo Nadine,
Den Parameter t, der hier von t=0 bis t=1 "läuft", kannst
du dir als eine Zeitkoordinate vorstellen. So betrachtet
erhältst du eine "Animation" der Kurve, wobei du zu
einem bestimmten Zeitpunkt t nur gerade den Punkt
P(t)=(x(t)|y(t)) auf einem Bildschirm mit den Koordinaten
x(nach rechts) und y(nach oben) siehst. Was du dir dann
anschaust, ist nur ein sich irgendwie über den Bildschirm
bewegender Punkt. Wenn die Spur, die der Punkt dabei
durchlaufen hat, aufgezeichnet wird, entsteht die im
Bild blau dargestellte Kurve.
Nun könntest du dir aber eine "3D-Animation" vor-
stellen, bei der du z.B. mit einer so drolligen rot-
grün-Brille in die Röhre guckst. Was du darin dann
siehst, ist ebenfalls ein sich im Zeitraum von t=0 bis
t=1 (also z.B. eine Minute lang) bewegender Punkt.
Allerdings hat seine Bewegung jetzt noch eine Tiefen-
dimension: der Punkt taucht in der Tiefe rechts oben
im Bild auf und nähert sich dann in einem eleganten
Bogen, schwenkt auf dich zu und kommt dir schliesslich
fast bedrohlich nahe, bis er zum Zeitpunkt t=1 erlischt.
Könnte man nun auch die 3D-Spur dieser Animation
irgendwie in einem Glaskasten festhalten, so kannst
du in diesen Kasten von allen Seiten reinschauen:
Von "vorne" (also so wie du auf den vor dir stehen-
den Bildschirm geschaut hast) siehst du die vorher
blau gezeichnete Kurve. Interessierst du dich für
den Verlauf von x in Abhängigkeit der Zeit t, so
stellst du dich links neben den Kasten, beugst dich
über ihn und schaust von oben hinein; mach dir klar,
wie aus dieser Sicht die t-Achse und die x-Achse
gerichtet sind. Insgesamt trägt ja dieser Kasten
dann ein t-x-y-Koordinatensystem. Von oben be-
trachtet sieht man also die (vorher rot gezeichnete)
x(t)-Kurve. Schliesslich liefert der Anblick von links
in den Kasten hinein die y(t)-Kurve.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, ich glaube, ich hab's jetzt verstanden 
LG, Nadine
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