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| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] eine Basis eines [mm] \IR- [/mm] VR [mm] \mathcal{V} [/mm] und [mm] \mathcal{B} [/mm] = [mm] (w_{1},w_{2},w_{3}) [/mm] eine Basis eines [mm] \IR- [/mm] VR [mm] \mathcal{W}.
[/mm]
Setze [mm] \mathcal{S} [/mm] := [mm] \pmat{ 5 & 4 \\ 0 & -2 \\ -4 & 3 }
[/mm]
Es wird die lin. Abb. f := [mm] L_{S,A,B} [/mm] : [mm] \mathcal{V} \to \mathcal{W} [/mm] betrachtet
(i) Bestimmen Sie das [mm] (\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}) \in\IR [/mm] , so dass:
[mm] f(2v_{1} [/mm] + [mm] 3v_{2}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}*w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*w_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*w_{3} [/mm]
(ii) Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{B'} [/mm] := [mm] (w_{1},w_{2},w_{3}+w_{2}) [/mm] eine Basis von [mm] \mathcal{W} [/mm] ist und bestimmen Sie die Matrix [mm] M_{f,A,B'} [/mm] |
Hallo! Bräuchte mal wieder einen prüfenden Blick und vielleicht auch ein paar nette und hilfreiche Ergänzungen (die das Verständnis der Aufgabe fördern). Da ich mich eigentlich einigermaßen sicher bei dem Aufgabentyp fühle, aber manchmal zeigen sich dennoch ein paar Unsicherheiten.
(i)
Mein Ansatz ist folgender:
Da durch gegebenes S ich ja weiß wie sich meine Vektoren in den jeweilig anderen Basen zusammensetzen. Also
v = [mm] \lambda_{1}*w_{1}+ \lambda_{2}*w_{2}+ \lambda_{3}*w_{3}
[/mm]
Durch die Matrix S kann man also folgern:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] 5*w_{1}+ (-4)*w_{3}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] 4*w_{1}+ (-2)*w_{2}+ 3*w_{3}
[/mm]
das
[mm] f(2v_{1}+3v_{2}) [/mm] = [mm] 2(5w_{1}+ (-4)w_{3}) [/mm] + [mm] 3(4w_{1}+ (-2)w_{2}+ 3w_{3})
[/mm]
[mm] \gdw f(2v_{1}+3v_{2}) [/mm] = [mm] 22w_{1}-6w_{2}+w_{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = 22, [mm] \lambda_{2} [/mm] = -6, [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1
(ii)
Mit Hilfe des Austauschsatzes von Steinitz, kann ich [mm] w_{3} [/mm] aus gegebener Basis entfernen und mit einem Vielfachen von [mm] w_{2} [/mm] addieren, umso einen neuen Vektor [mm] w_{3} [/mm] + [mm] w_{2} [/mm] zu kreieren. Da ja schon [mm] w_{3} [/mm] zu [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] lin. unabhängig ist, ist auch dieser wieder lin. unabhängig zu den beiden.
Hoffe das ist nicht zu "schwammisch" formuliert. Wenn doch, wie formuliere ich das besser?
Jetzt müsste [mm] M_{f,A,B'} [/mm] sein
[mm] M_{f,A,B'} [/mm] := [mm] \pmat{ 5 & 4 \\ 0 & -2 \\ (-4)+0 & 3+(-2) }
[/mm]
also
[mm] M_{f,A,B'} [/mm] := [mm] \pmat{ 5 & 4 \\ 0 & -2 \\ -4 & 1}
[/mm]
Besten Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
/edit
ups, bei (i) hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Es muss [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1 und nicht [mm] \lambda_{3} [/mm] = 5
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> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm](v_{1},v_{2})[/mm] eine Basis eines [mm]\IR-[/mm] VR
> [mm]\mathcal{V}[/mm] und [mm]\mathcal{B}[/mm] = [mm](w_{1},w_{2},w_{3})[/mm] eine
> Basis eines [mm]\IR-[/mm] VR [mm]\mathcal{W}.[/mm]
>
> Setze [mm]\mathcal{S}[/mm] := [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ 0 & -2 \\ -4 & 3 }[/mm]
>
> Es wird die lin. Abb. f := [mm]L_{S,A,B}[/mm] : [mm]\mathcal{V} \to \mathcal{W}[/mm]
> betrachtet
Hallo,
an dieser Stelle sollten wir bereits einhaken.
Die Abbildung f ist die lineare Abbildung, welche bzgl. der Basen A und B die Darstellungsmatrix S hat.
Es ist also
[mm] f(v_1)=5w_1+0w_2-4w_3
[/mm]
[mm] f(v_2)=...
[/mm]
(Bedenke: in den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl der Basen A im Urbildraum und B im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von A in Koordinaten bzgl. B.)
Mit diesem Wissen kannst Du nun (i) richtig lösen.
>
> (i) Bestimmen Sie das [mm](\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}) \in\IR[/mm]
> , so dass:
> [mm]f(2v_{1}[/mm] + [mm]3v_{2})[/mm] = [mm]\lambda_{1}*w_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*w_{2}[/mm]
> + [mm]\lambda_{3}*w_{3}[/mm]
>
> (ii) Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{B'}[/mm] :=
> [mm](w_{1},w_{2},w_{3}+w_{2})[/mm] eine Basis von [mm]\mathcal{W}[/mm] ist
> und bestimmen Sie die Matrix [mm]M_{f,A,B'}[/mm]
> (i)
>
> Mein Ansatz ist folgender:
> Da durch gegebenes S ich ja weiß wie sich meine Vektoren
> in den jeweilig anderen Basen zusammensetzen. Also
>
> v = [mm]\lambda_{1}*w_{1}+ \lambda_{2}*w_{2}+ \lambda_{3}*w_{3}[/mm]
>
> Durch die Matrix S kann man also folgern:
> [mm]\red{f(}v_{1}\red{)}[/mm] = [mm]5*w_{1}+ (-4)*w_{3}[/mm]
> [mm]\red{f(}v_{2}\red{)}[/mm] = [mm]4*w_{1}+ (-2)*w_{2}+ 3*w_{3}[/mm]
Ich verstehe gerade, daß Du hier lediglich das f vergessen hattest - hätte mir meine Vorrede also sparen können.
>
> das
>
> [mm]f(2v_{1}+3v_{2})[/mm] =
[mm] 2f(v_1)+3f(v_2)
[/mm]
> [mm]2(5w_{1}+ (-4)w_{3})[/mm] + [mm]3(4w_{1}+ (-2)w_{2}+ 3w_{3})[/mm]
>
> [mm]\gdw f(2v_{1}+3v_{2})[/mm] = [mm]22w_{1}-6w_{2}+w_{3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm] = 22, [mm]\lambda_{2}[/mm] = -6, [mm]\lambda_{3}[/mm]
> = 1
Genau.
>
>
> (ii)
>
> Mit Hilfe des Austauschsatzes von Steinitz, kann ich [mm]w_{3}[/mm]
> aus gegebener Basis entfernen und mit einem Vielfachen von
> [mm]w_{2}[/mm] addieren, umso einen neuen Vektor [mm]w_{3}[/mm] + [mm]w_{2}[/mm] zu
> kreieren. Da ja schon [mm]w_{3}[/mm] zu [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] lin.
> unabhängig ist, ist auch dieser wieder lin. unabhängig zu
> den beiden.
> Hoffe das ist nicht zu "schwammisch" formuliert.
> Wenn doch,
> wie formuliere ich das besser?
Du weißt, daß eine jegliche Basis von W aus drei Vektoren besteht.
Rechne vor, daß die drei Vektoren [mm] w_1, w_2 [/mm] und [mm] w_2+w_3 [/mm] linear unabhängig sind, indem Du
[mm] \lambda_1w_1+\lambda_2w_2+\lambda_3(w_2+w_3)=0
[/mm]
löst.
>
> Jetzt müsste [mm]M_{f,A,B'}[/mm] sein
> [mm]M_{f,A,B'}[/mm] := [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ 0 & -2 \\ (-4)+0 & 3+(-2) }[/mm]
>
> also
> [mm]M_{f,A,B'}[/mm] := [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ 0 & -2 \\ -4 & 1}[/mm]
Richtig.
LG Angela
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Vielen Dank!! Du bist klasse! :)
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