Bahnalgorithmus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Mi 27.10.2004 | | Autor: | iver_gal |
Hallo zusammen!
Ich habe Probleme in die folgende Frage in meiner Algebra Aufgabe:
Sei [mm] D_{8} [/mm] := <(1,2,3,4), (1,3)> [mm] \le S_{4}. [/mm] Seien darin [mm] C_{4} [/mm] := <(1,2,3,4)> und [mm] C_{2} [/mm] := <(1,3)>. Die [mm] S_{4}-Menge S_{4}/C_{4} [/mm] wird durch Einschraenkung zu einer [mm] A_{4}-Menge, [/mm] zu einer [mm] D_{8}-Menge, [/mm] zu einer [mm] C_{4}-Menge [/mm] resp. zu einer [mm] C_{2}-Menge.
[/mm]
Gib vermittels Bahnenalgorithmus auf [mm] S_{4}/C_{4} [/mm] die Bahnen an
(1) der [mm] C_{2}-Operation,
[/mm]
(2) der [mm] C_{4}-Operation,
[/mm]
(3) der [mm] D_{8}-Operation [/mm] und
(4) der [mm] A_{4}-Operation.
[/mm]
wobei A ist die alternierende Gruppe.
Ich habe leider keine Ahnung wie man das anfangen kann. Hilfe!
mfg
iver_gal
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe Probleme in die folgende Frage in meiner Algebra
> Aufgabe:
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> Sei [mm]D_{8}[/mm] := <(1,2,3,4), (1,3)> [mm]\le S_{4}.[/mm] Seien darin
> [mm]C_{4}[/mm] := <(1,2,3,4)> und [mm]C_{2}[/mm] := <(1,3)>. Die [mm]S_{4}-Menge S_{4}/C_{4}[/mm]
> wird durch Einschraenkung zu einer [mm]A_{4}-Menge,[/mm] zu einer
> [mm]D_{8}-Menge,[/mm] zu einer [mm]C_{4}-Menge[/mm] resp. zu einer
> [mm]C_{2}-Menge.
[/mm]
> Gib vermittels Bahnenalgorithmus auf [mm]S_{4}/C_{4}[/mm] die
> Bahnen an
> (1) der [mm]C_{2}-Operation,
[/mm]
> (2) der [mm]C_{4}-Operation,
[/mm]
> (3) der [mm]D_{8}-Operation[/mm] und
> (4) der [mm]A_{4}-Operation.
[/mm]
>
> wobei A ist die alternierende Gruppe.
>
Hallo!
Dieses Forum ist nicht dazu da, dass man Deine Aufgaben löst.
Konkrete Fragen, wo es hakt, wären angebracht.
Ich greife Dir aber mal unter die Arme.
Ich gehe davon aus, dass du weisst, wie man den Bahnalgorithmus anwendet.
Mache dir zunächst klar, was hier vor sich geht.
Schreibe Dir mal alle Elemente der [mm] S_4 [/mm] auf.
Jetzt musst Du wissen, dass [mm] S_4/C_4={s*C_4|s aus S_4}.
[/mm]
Die Ordnung von [mm] S_4/C_4 [/mm] ist: Ordnung [mm] S_4/OrdnungC_4=24/4=6.
[/mm]
Wende mal für die Identität und alle Transpositionen von [mm] S_4 [/mm] durch Linksmultiplikation auf [mm] C_4 [/mm] an.
Zum Beipiel:
[mm] 1*C_4={1, (1234)=g,g^2,g^3}
[/mm]
[mm] (12)*C_4={1*(12),(12)g,(12)g^2,(12)g^3}
[/mm]
.
.
.
Du merkst schnell, dass Du dadurch alle Elemente der [mm] S_4 [/mm] erzeugen kannst.
Es gilt also:
[mm] 1C_4=(1234)C_4=(13)(24)C_4=(1432)C_4
[/mm]
Das ist ein Element von [mm] S_4/C_4.
[/mm]
Insgesmat gibt es 6.
Wenn Du das geschafft hast, ist die meiste Arbeit erledigt.
Jetzt sollst du zum Beispiel die Bahn (12)C4 unter C2 in (1) bestimmen.
Dazu wendest Du den Bahnenalgorithmus an.
Beispiel:
(12)C4
wende darauf C2 =(13) von links an, du gelangst zu (123)C4 = (14)C4, was Du vorher rausgefunden hast.
Darauf wendest Du erneut C2 an und du gelangst wieder zu (12)C4.
Also ist C2((12)C4)={(12)C4,(14)C4} die BAhn von (12)C4 unter C2.
Für (1) erhälst Du 3 Bahnen.
Prinzipiell wendest Du also immer den/ die Erzeuger der Gruppe auf ein Element von S4/C4 an.
Bei (2) erhälst du auch 3 Bahnen, bei (3) 2 Bahnen und bei (4) nur eine einzige Bahn.
Somit kannst Du dir schon denken, dass die Bahn von D8 = S4/C4 ist, also 6 Elemente besitzt!
Versuch´s einfach mal!
Wenn du den Dreh raus hast, ist es einfach.
Die Hauptarbeit liegt bei der Bestimmung von S4/C4.
Gruss, Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 28.10.2004 | | Autor: | iver_gal |
Lieber Wurzelpi!
Vielen Dank für deinen Hinweis und lange Antwort! Mir ist sehr dankbar! Ich bin neu hier, nächstes mal weiss ich Bescheid wie ich meine Frage stellen soll. Nochmal danke schön! =)
mfg
iver_gal
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