Bahnkurve < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Sa 21.10.2006 | | Autor: | demo |
| Aufgabe | Ein Massenpunkt unterliege der Beschleunigung x'' (t) = -gn - a x'(t) (a,g >0 ; n=feste Raumrichtung; x''(t) = 2.Ableitung von Ortsvektor), bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit x'(0) = [mm] v_o [/mm] und der Anfangslage [mm] x_o
[/mm]
Man beschreibe den Ablauf der Bewegung. Wie sieht die zugehörige Bahnkurve aus? |
Das heißt also , dass die Beschleunigung des Teilchens abhängig von der Geschwindigkeit ist?!
Da doch eigentlich g, n und a konstant sind, ändert doch nur die Geschwindikeit die Beschleunigung, um so schneller umso langsam wird das Teilchen beschleunigt. Stimmt das?
Wie sihet die Bahnkurve aus? Was steht an den Koordinatenachsen des Koor.-Systems?
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Du hast durchaus recht! Mit zunehmender Geschwindigkeit sinkt die Beschleunigung.
Zur Lösung: Du solltest dein koordinatensystem so wählen, daß eine Achse in Richtung [mm] \vec [/mm] n zeigt. Dann sieht deinProblem so aus:
x''=-ax'
y''=-ay'
z''=-g-az'
In den ersten beiden Gleichungen ergibt sich sofort, daß das ein exponentieller Abfall sein muß. Heißt also, die Geschwindigkeit geht gegen 0.
Im letzten Fall ist die GL inhomogen, aber auch das sollte sich problemlos lösen lassen, oder?
Zu guter letzt mußt du natürlich noch die Anfangsbedingungen einsetzen.
Weißt du eigentlich, was du da berechnest? Das ist die Bewegung eines Regentropfens. Wenn er anfängt zu fallen, steigt der Luftwiderstand halbwegs linear zur Geschwindigkeit. Im Gleichgewichtszustand x''=0 hat er dann eine konstante Fallgeschwindigkeit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 So 22.10.2006 | | Autor: | demo |
Ich habe leider nocheinmal eine Frage zu deiner Antwort, auch wenn sie mir schon sehr weitergeholfen hat.
z''=-g-az' soll gelöst werden.
Da mach ich doch erst den homogenen Ansatz ohne -g und ersetze z''=u' und z'=u. Aber da bin ich mir gar nicht so sicher, weil g ist doch eine konstante, oder? Da muss ich einen anderen Ansatz wählen, aber welchen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 So 22.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo demo
Du lösest wirklich zuerst die homogene Gleichung, allerdings musst du dafür z nicht in u umbenennen. die partikuläre Lösung der inhomogenen ist dann z'=-g/a also z' konstant, z''=0.
Gruss leduart
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Hallöchen,
mich würde auch mal interessieren, ob meine Lösung für die homogenen DGLs richtig sind, ich habe für x(t) und y(t)= [mm] -2a^{2}*e^{at}
[/mm]
Stimmt das so weit?
Nun frage ich mich, wie ich da die Anfangsbedingungen einsetzen soll?
Bei der inhomogenen komme ich leider gar nicht weiter, da ich nicht weiß, was ich nun mit der homogenen Lösung noch anstellen muß?
Würde mich über Hilfe sehr freuen :)
Matze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Matze
> mich würde auch mal interessieren, ob meine Lösung für die
> homogenen DGLs richtig sind, ich habe für x(t) und y(t)=
> [mm]-2a^{2}*e^{at}[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
Leider falsch [mm] x'(t)=C1*e^{-at} [/mm] => [mm] x(t)=-C1/a*e^{-at}+C2
[/mm]
entsprechen y mit möglicherweise anderen konstanten.
homogene Gl. für z' genauso, partikuläre Lösung der Inhomogenen Gl: z'=k, z''=0, einsetzen und k bestimmen. dann integrieren und di Integrationskonst. nicht vergessen.
Die Konstanten ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
Gruss leduart
> Nun frage ich mich, wie ich da die Anfangsbedingungen
> einsetzen soll?
>
> Bei der inhomogenen komme ich leider gar nicht weiter, da
> ich nicht weiß, was ich nun mit der homogenen Lösung noch
> anstellen muß?
>
> Würde mich über Hilfe sehr freuen :)
>
> Matze
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Vielen Dank schonmal, habe jetzt für
x(t) = [mm] -\bruch{v_{0}}{a} [/mm] * [mm] e^{-at} [/mm] + [mm] x_{0} [/mm] + [mm] \bruch{v_{0}}{a}
[/mm]
das dürfte soweit stimmen, oder? für y(t) komme ich auf das selbe.
Für z habe ich nun
[mm] k=c_{1} [/mm] * [mm] e^{-at} [/mm] und 0 = -a * [mm] (c_{1} [/mm] * [mm] e^{-at})
[/mm]
für k komme ich jedoch immer auf 0, aber das kann ja nicht sein? :( Oder muß ich hier zuerst die Konstanten bestimmen?
Sorry, für die vielen Fragen, aber bei DGLs hab ich so meine Probleme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 25.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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