Bahnstrecke - Koeffizient a < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:40 Do 20.05.2010 | | Autor: | Jancool |
| Aufgabe | Eine neue Bahnstrecke verläuft längs der Geraden [mm]f(x)= \bruch{1}{2}*x+2[/mm].
Vom Reperaturwerk P(0|0) ausgehend soll das Anschlussgleis [mm]g(x)=a*\wurzel{x}[/mm] tangential an die Strecke angeschlossen werden.
Wie muss a gewählt werden? |
Jetzt würde ich mich über einige Denkanstöße freuen, da ich bei dieser Aufgabe mitlerweile nicht mehr weiter weiß.
Danke im Vorraus!
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Hallo!
zeichne doch mal eine Skizze der beiden Funktionen. Wie wirkt sich der Parameter a aus? Und in welchen Fällen wäre ein Gleiswechsel überhaupt möglich?
Außerdem soll so ein Wechel ja nicht abrupt ablaufen, der Zug soll um Material und Nerven zu sparen möglichst sanft von einem Gleis auf das andere. Wie läßt sich das machen (Wie sieht so eine Weiche in Realität aus?)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Do 20.05.2010 | | Autor: | Jancool |
Der Parameter bestimmt die Streckung oder Stauchung der Funktion; ein Gleiswechsel ist nur möglich, wenn es auch einen Schnittpunkt gibt.
Die Skizze:
![[]](/images/popup.gif) [img=http://www.imagebanana.com/img/ksdncjcz/thumb/skizze.png]
Jedoch weiß ich immer noch keine Lösung, wie ich auf das a kommen soll, beim Umformen jeglicher Gleichungen habe ich dann 2 Variablen x und das a. Außerdem haben wir keine Punkte, die sich zum Einsetzen eignen.
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Hallo, du erkennst doch an deiner Skizze, im Schnittpunkt stimmen die beiden Funktionen und die beiden Ableitungen überein, du kannst zwei Gleichungen aufstellen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 20.05.2010 | | Autor: | Jancool |
Also z.B.:
[mm]\bruch{1}{2}*x+2=a*\wurzel{x}[/mm]
[mm]0,5=\bruch{a}{2*\wurzel{x}}[/mm]
Und jetzt eines nach x umformen und in die andere einsetzen um a rauszukriegen?
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Hallo, löse die 2. Gleichung z.B. nach a auf, dann in 1. Gleichung a=... einsetzen, Schnittstelle bestimmen, Schnittpunkt bestimmen, a bestimmen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 20.05.2010 | | Autor: | Jancool |
Hallo und Danke, ich komme auf a=2?
Viele Grüße
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Hallo!
Das mit den zwei Gleichungen ist schon richtig, allerdings sehe ich da noch ne andere Methode, die hier auch gut funktioniert.
Die Ableitung beider Funktionen sollte gleich sein. Das ist gleichbedeutend damit, daß sich die Funktionen berühren.
Nun hat man
[mm] \frac12x+2=a\sqrt{x}
[/mm]
[mm] \left(\frac12x+2\right)^2=a^2x
[/mm]
[mm] \frac14x^2+2x+4=a^2x
[/mm]
[mm] \frac14x^2+(2-a^2)x+4=0
[/mm]
Diese quadratische Gleichung hat genau dann genau eine Lösung, wenn sich die beiden Kurven berühren. Und das passiert ja dann, wenn in der PQ-Formel die Wurzel=0 wird. Hier also:
[mm] \sqrt{4(2-a^2)^2-16}=0
[/mm]
[mm] 4(2-a^2)^2-16=0
[/mm]
[mm] (2-a^2)^2-4=0
[/mm]
[mm] (2-a^2)^2=4
[/mm]
und so kommt man dann auf a=2.
Wie ich jetzt zugeben muß, etwas länglich.
Im allgemeinen ist aber der andere Vorschlag besser.
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![[]](http://www.imagebanana.com/view/ksdncjcz/skizze.png){kind=small}
[img=http://www.imagebanana.com/img/ksdncjcz/thumb/skizze.png]