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Forum "Funktionalanalysis" - Banach-Steinhaus
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Banach-Steinhaus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Fr 14.01.2011
Autor: DerGraf

Aufgabe
Sei [mm] (\mu_{k})_{k\in\IN} [/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit der Eigenschaft, dass

[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}<\infty [/mm] für jedes [mm] x=(\xi_{k})_{k\in\IN}\in l_{2}. [/mm]

Man zeige,dass [mm] y=(\mu_{k})_{k\in\IN} [/mm] zu [mm] l_{2} [/mm] gehört.

Hinweis: Banach-Steinhaus auf die Folge der durch [mm] y_{n}=(\mu_{1}; \mu_{2}; [/mm] ... ; [mm] \mu_{n}; [/mm] 0; 0; ... ) erzeugten Funktionale anwenden.

Hallo,

mit der Hölderungleichung erhalte ich:

[mm] |\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\sum_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}||\bar\mu_{k}|\le\left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}*\|x\|_{l_{2}}. [/mm]

Mit Banach-Steinhaus bekomme ich, dass die Operatornorm der Summe endlich ist und [mm] |\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\|f\|\|x\|_{l_{2}}. [/mm]

Doch wie erhalte ich: [mm] \left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}=\|f\|? [/mm]

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Gruß
DerGraf

        
Bezug
Banach-Steinhaus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> Sei [mm](\mu_{k})_{k\in\IN}[/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit der
> Eigenschaft, dass
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}<\infty[/mm] für jedes
> [mm]x=(\xi_{k})_{k\in\IN}\in l_{2}.[/mm]
>  
> Man zeige,dass [mm]y=(\mu_{k})_{k\in\IN}[/mm] zu [mm]l_{2}[/mm] gehört.
>  
> Hinweis: Banach-Steinhaus auf die Folge der durch
> [mm]y_{n}=(\mu_{1}; \mu_{2};[/mm] ... ; [mm]\mu_{n};[/mm] 0; 0; ... )
> erzeugten Funktionale anwenden.
>  Hallo,
>  
> mit der Hölderungleichung erhalte ich:
>  
> [mm]|\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\sum_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}||\bar\mu_{k}|\le\left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}*\|x\|_{l_{2}}.[/mm]


Das: [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2} [/mm]  kannst Du so nicht schreiben !

Richtig:

[mm] \sum_{k=1}^{\infty}|\mu_{k}|^{2} [/mm]

>  
> Mit Banach-Steinhaus bekomme ich, dass die Operatornorm der
> Summe endlich ist und
> [mm]|\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\|f\|\|x\|_{l_{2}}.[/mm]
>  
> Doch wie erhalte ich:
> [mm]\left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}=\|f\|?[/mm]
>  
> Kann mir hier jemand weiterhelfen?


Diese Aufgabe ist viel zu schwer für eine Übungsaufgabe, sag das mal Deinem Übungsleiter.

Deshalb:

schau nach in : H.Heuser: Funktionalanalysis 46.1, I)

FRED

>  
> Gruß
>  DerGraf


Bezug
                
Bezug
Banach-Steinhaus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Fr 14.01.2011
Autor: DerGraf

Hallo Fred,

vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Das Buch habe ich hier und die Lösung sieht verständlich aus :)

Lieben Gruß

DerGraf

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