Banach. Fixpunktsatz/Iteration < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:50 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Lena23 |
| Aufgabe | Betrachten Sie das zweidimensionale Nullstellenproblem
[mm] f(x,y)-(x,y)\equiv [/mm] 0, wobei [mm] f(x,y)=\vektor{\bruch{3x}{1+x}+\bruch{1}{y} \\ \bruch{3y}{1+y}+\bruch{2}{x}}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie eine Teilmenge [mm] I\subseteq \IR^2, [/mm] in der f(x,y) bzgl. der [mm] ||*||_{\infty}-Norm [/mm] den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes genügt.
(b) Mit Hilfe einer geeigneten Fixpunktiteration führen Sie zwei Iterationsschritte mit dem Startwert [mm] (x_0, y_0) [/mm] = (2,2) durch und geben eine a-posteriori Fehlerschranke für [mm] (x_2, y_2) [/mm] an.
(c) Wieviele Iterationsschritte sind hinreichend, um ausgehend von [mm] (x_0, y_0) [/mm] = (2,2) den Fixpunkt [mm] (x_{\*}, y_{\*}) [/mm] mit einer Genauigkeit von [mm] 10^{-8} [/mm] zu berechnen? |
Ich brauche Hilfe beim Lösen der Aufgabe. Allein kriege ich das einfach nicht geregelt...
Zum Banachschen Fixpunktsatz und zur a-posteriori Abschätzung kann ich folgendes sagen:
Sei [mm] I=[a,b]\subset \IR [/mm] ein Intervall und [mm] \phi: [/mm] I [mm] \to [/mm] I eine kontrahierende Selbstabbildung mit Lipschitz-Konstante [mm] \theta<1. [/mm] Dann folgt:
a) Es existiert genau ein Fixpunkt [mm] x_{\*} \in [/mm] I von [mm] \phi,\phi(x_{\*})=x_{\*}.
[/mm]
b) Für jeden Startwert [mm] x_{0}\in\ [/mm] I konvergiert die Fixpunktiteration [mm] x_{k+1}=\phi(x_{k}) [/mm] gegen [mm] x_{\*}.
[/mm]
c) Es gelten die Fehlerabschätzungen
(a-priori) [mm] |x_{\*} [/mm] - [mm] x_{k}|\le\bruch{\theta_{k}}{1-\theta}*|x_{1}-x_{0}|
[/mm]
(a-posteriori) [mm] |x_{\*} [/mm] - [mm] x_{k}|\le\bruch{\theta}{1-\theta}*|x_{k}-x_{k-1}|
[/mm]
Über Hilfe und Tipps wäre ich wirklich dankbar!
Gruß Lena
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:15 So 16.12.2012 | | Autor: | Lena23 |
Mir ist gerade aufgefallen, dass meine Formulierung nicht ganz richtig ist, deshalb:
Sei $ [mm] I=[a,b]\subset \IR [/mm] $ ein Intervall und $ [mm] \phi: [/mm] $ I $ [mm] \to [/mm] $ I eine kontrahierende Selbstabbildung mit Lipschitz-Konstante $ [mm] \theta<1. [/mm] $ Dann folgt:
a) Es existiert genau ein Fixpunkt $( [mm] x_{\*},y_{\*}) \in [/mm] I$ von $ [mm] \phi,\phi(x_{\*},y_{\*})=(x_{\*},y_{\*}). [/mm] $
b) Für jeden Startwert $ [mm] (x_{0},y_{0})\in\ [/mm] I $konvergiert die Fixpunktiteration $ [mm] (x_{k+1},y_{k+1})=\phi(x_{k},y_{k}) [/mm] $ gegen $ [mm] (x_{\*},y_{\*}) [/mm] $
c) Es gelten die Fehlerabschätzungen
(a-priori) $ [mm] ||(x_{\*},y_{\*}) [/mm] $ - $ [mm] (x_{k},y_{k})||_{\infty}\le\bruch{\theta_{k}}{1-\theta}\cdot{}||(x_{1},y_{1})-(x_{0},y_{0})||_{\infty} [/mm] $
(a-posteriori) $ [mm] ||(x_{\*},y_{\*}) [/mm] $ - $ [mm] (x_{k},y_{k})||_{\infty}\le\bruch{\theta_{k}}{1-\theta}\cdot{}||(x_{k},y_{k})-(x_{k-1},y_{k-1})||_{\infty} [/mm] $
Aber wie finde ich denn jetzt meine passende Menge I?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 23:58 So 16.12.2012 | | Autor: | Lena23 |
Hat niemand einen Tipp? :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Mo 17.12.2012 | | Autor: | hippias |
Du brauchst ein [mm] $I\subseteq \IR^{2}$ [/mm] so, dass $f$ die Lipschitzbedingung auf $I$ erfuellt und $I$ in $I$ abbildet. Wegen $f(x)-f(y)= [mm] f'(\xi)(x-y)$, [/mm] genuegt es meist, dass Du Dir ein $I$ ueberlegst, in dem die Norm der Ableitung $<1$ ist. Dann ist der Fixpunktsatz im Grunde schon anwendbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
