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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Do 03.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4. a) Finde für die Funktion $f(x) = [mm] x^{2} [/mm] $ einen Definitionsbereich D und ein $q < 1$ , so dass $f(D) [mm] \subset [/mm] D$ und [mm] $|f'(x)|\le [/mm] q $ für [mm] $x\in [/mm] D$ erfüllt sind. Was liefert dann der Fixpunktsatz?
b) Finde für die Funktion $f(x) = [mm] \sqrt{x} [/mm] $ einen Definitionsbereich D und ein $q < 1$ , so dass $f(D) [mm] \subset [/mm] D$ und [mm] $|f'(x)|\le [/mm] q $ für [mm] $x\in [/mm] D$ erfüllt sind. Was liefert dann der Fixpunktsatz?
c) Bestimme mit Hilfe des Fixpunktsatzes eine Lösung der Gleichung [mm] $e^{-x}=x$ [/mm] auf drei Stellen genau. |
Hallo,
Wie finde ich denn einen Definitionsbereich/Intervall? Das q kann man über das Maximum der Ableitung abschätzen
bei
a) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D \ q:= max|f'(x)|=max|2x| < 1$
b) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D \ q:= max|f'(x)|= [mm] max|\frac{1}{2\sqrt{x}}|<1$
[/mm]
was liefert der Fixpunktsatz? Dass ein Fixpunkt existiert und Abschätzungen...
c) [mm] $x_{0}=\frac{1}{2}$ [/mm] dann nach einigen Schritten kommt man auf $x=0.567$ was die Gleichung [mm] $e^{-x}=x$ [/mm] erfüllt. So ok?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> 4. a) Finde für die Funktion [mm]f(x) = x^{2}[/mm] einen
> Definitionsbereich D und ein [mm]q < 1[/mm] , so dass [mm]f(D) \subset D[/mm]
> und [mm]|f'(x)|\le q[/mm] für [mm]x\in D[/mm] erfüllt sind. Was liefert
> dann der Fixpunktsatz?
>
> b) Finde für die Funktion [mm]f(x) = \sqrt{x}[/mm] einen
> Definitionsbereich D und ein [mm]q < 1[/mm] , so dass [mm]f(D) \subset D[/mm]
> und [mm]|f'(x)|\le q[/mm] für [mm]x\in D[/mm] erfüllt sind. Was liefert
> dann der Fixpunktsatz?
>
> c) Bestimme mit Hilfe des Fixpunktsatzes eine Lösung der
> Gleichung [mm]e^{-x}=x[/mm] auf drei Stellen genau.
> Hallo,
>
>
Hallo,
zunächst einmal wäre es sicher sinnvoll, wenn Du Dir und uns zunächst einmal sagen würdest, welchen Fixpunktsatz in welcher Formulierung Du verwenden möchtest, und was Du ggf. über den Zusammenhang Kontraktion/Ableitung gelernt hast.
Dieses Material benötigen wir zur Lösung der Aufgabe.
> Wie finde ich denn einen Definitionsbereich/Intervall?
Ich würd' mir dazu mal die Funktionsgraphen skizzieren.
Bei a) wäre beispielsweise D:=[0.75, 2] kein passender Definitionsbereich,
denn [mm] f([0.75,2])=[\bruch{9}{16}, 4]\not\subset [/mm] [0.75,2].
> Das
> q kann man über das Maximum der Ableitung abschätzen
> bei
> a) [mm]\forall x \in D \ q:= max|f'(x)|=max|2x| < 1[/mm]
>
> b) [mm]\forall x \in D \ q:= max|f'(x)|= max|\frac{1}{2\sqrt{x}}|<1[/mm]
>
> was liefert der Fixpunktsatz? Dass ein Fixpunkt existiert
> und Abschätzungen...
>
> c) [mm]x_{0}=\frac{1}{2}[/mm] dann nach einigen Schritten kommt man
> auf [mm]x=0.567[/mm] was die Gleichung [mm]e^{-x}=x[/mm] erfüllt. So ok?
K.A. Wie oben erwähnt: wir müssen wissen, was Du verwendest, und was Du tust, z.B. auch, wieviele Schritte Du weshalb machst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
D ist so zu wählen, dass 2|x|<1 ist für jedes x [mm] \in [/mm] D. Dies legt doch nahe, ein a mit 0<a<1/2 zu wählen und zu setzen:
D:=[0,a]
Dann gilt: |f'(x)|=f'(x)=2x [mm] \le [/mm] 2a<1 für x [mm] \in [/mm] D. Setze also q:=2a
Damit sind alle Vor. des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
Zu b) Verfahre ähnlich wie bei a)
Zu c) das solltest Du mal ausführlicher darstellen. Was ist f, was ist D , sind die Vor. des Fixpunktsatzes erfüllt ?
x=0.567 ist sicher nicht die exakte Lösung der Gleichung $ [mm] e^{-x}=x [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 06.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo fred und angela,
Danke für die Hilfe.
Gruss
kushkush
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