Banach'scher Fixpunktsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 27.02.2005 | | Autor: | Carsten |
Hi ich befasse mich momentan mit dem Banach'schen Fixpunktsatz und habe einige Übungsaufgaben die ich gerne Lösen würde allerdings weiss ich nicht genau wie,..
Die Aufgabe :
Gegeben ist die Funktion:
f(x) =1/2*e^(x/2)
a) Zeigen Sie, daß es im Intervall [0; 1] genau eine Lösung der Gleichung
x = f(x) gibt indem Sie
i) überprüfen, daß f das Intervall [0; 1] in sich abbildet und
ii) nachweisen, daß f kontrahierend ist.
zu a) würde ich einfach x = 1/2*e^(x/2) auflösen
allerdings kann ich mit i) garnichts anfangen und zu ii) Kontra´ktionseigenschaft [mm] |f(x_{1})-f(x_{2})| \le [/mm] q*| [mm] x_{1}- x_{2} [/mm] |
wie es allerdings weitergehen soll.....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 So 27.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Hi ich befasse mich momentan mit dem Banach'schen
> Fixpunktsatz und habe einige Übungsaufgaben die ich gerne
> Lösen würde allerdings weiss ich nicht genau wie,..
>
> Die Aufgabe :
>
>
> Gegeben ist die Funktion:
> f(x) =1/2*e^(x/2)
>
> a) Zeigen Sie, daß es im Intervall [0; 1] genau eine Lösung
> der Gleichung
> x = f(x) gibt indem Sie
> i) überprüfen, daß f das Intervall [0; 1] in sich
> abbildet und
> ii) nachweisen, daß f kontrahierend ist.
>
>
> zu a) würde ich einfach x = 1/2*e^(x/2) auflösen
> allerdings kann ich mit i) garnichts anfangen und zu ii)
> Kontra´ktionseigenschaft [mm]|f(x_{1})-f(x_{2})| \le[/mm] q*|
> [mm]x_{1}- x_{2}[/mm] |
> wie es allerdings weitergehen soll.....
mit diesem lösungsansatz wirst du wohl recht lange brauchen, da man diese gleichung nicht explizit nach $x$ auflösen kann. deshalb wendet man hier auch den banachschen fixpunktsatz an um die existenz und eindeutigkeit einer lösung der gleichung $x = f(x)$ (das ist ein fixpunkt von $f$) zu erhalten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(in der grafik ist der gesuchte fixpunkt genau der schnittpunkt zwischen dem roten graph, welches das hier vorgegebene $f$ darstellt und dem grünen graph, das ist der graph der abbildung $g(x) = x$).
schau die am besten nochmals die genaue formulierung des banachschen fixpunktsatzes an und mache dir klar, welche vorraussetzungen du mit (i) und (ii) verifizierst (und welche weiteren vorraussetzungen hier erfüllt sein müssen).
also mal zu (i): offensichtlich ist $f$ als komposition stetiger abbildungen stetig und außerdem - da [m]f'(x) = \frac{1}{4} \textrm{e}^\frac{x}{2} > 0 [/m] - monoton wachsend. und deshalb [m]\frac{1}{2} = f(0) \leq f(x) \leq f(1) = \frac{1}{2} \textrm{e}^\frac{1}{2} \approx 0,8243606355 [/m] für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$. also bildet $f$ das intervall $[0,1]$ auf sich selbst ab (mache dir das am besten auch nochmal an obiger grafik klar).
zu (ii): sagt dir der mittelwertsatz der differentialrechnung etwas? damit sollte dieses problem eigentlich zu lösen sein.
probiere das doch mal. wenn du nicht weiterkommst oder etwas von der erklärung nicht verstehst melde dich einfach nochmal.
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Carsten |
Danke für die promte Antwort sie hat mir etwas weitergeholfen, allerdings bin ich mir unklar welche Bedingung erfüllt sein muss damit ein Intervall sich selbst abbildet ? reicht es das bei einem Intervall [a;b] die Lösungen von f(a) bzw f(b) in [a;b] liegen oder liege ich total falsch ?
was den Mittelwertsatz betrifft :
[mm] \bruch{f(x_{2})-f(x_{2})}{x_{2}- x_{1}}=f'(c)
[/mm]
wobei die Kontraktionskonstante q:= max f'(c) ist ( wäre das dann bei I = [0;1] , f'(x) = [mm] 1/4*e^{x/2} [/mm] einfach f'(1) = 0.4121803178 ? )
und f'(c) würde sich dann max f'(x) annäheren je weiter die Funktion zum Fixpunkt konvergiert ?
=> [mm] |f(x_{2})-f(x_{2})| [/mm] = f'(c) * [mm] |x_{2}- x_{1}| \le [/mm] max [mm] |f'(c)|*|x_{2}- x_{1}|
[/mm]
reicht das als beweis für die kontraktion ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 01.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi Carsten
> Danke für die promte Antwort sie hat mir etwas
> weitergeholfen, allerdings bin ich mir unklar welche
> Bedingung erfüllt sein muss damit ein Intervall sich selbst
> abbildet ? reicht es das bei einem Intervall [a;b] die
> Lösungen von f(a) bzw f(b) in [a;b] liegen oder liege ich
> total falsch ?
im allgemeien muss für die selbstabbildung gelten, dass das der gesamte definitionsbereich auf sich selbst abgebildet wird, d.h. im fall eines intervalls $f([a, b]) [mm] \subset [/mm] [a, b]$ oder äquivalent für alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$ gilt $f(x) [mm] \in [/mm] [a, b]$.
dass $f(a)$ und $f(b)$ in $[a, b]$ liegen ist zwar eine notwendige vorraussetzung, aber keien hinreichende (man muss natürlich auch eine aussage über die $f(x)$ mit $x$ zwischen $a$ und $b$ treffen!). zum beispiel gilt für $f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 4$ und $[a, b] = [-2, 2]$, dass $f(-2) = f(2) = 0 [mm] \in [/mm] [-2, 2]$, aber $f(0) = -4 [mm] \not\in [/mm] [-2, 2]$. also verlässt die funktion zwischendurch den bereich und $f$ ist keien selbstabbildung von $[-2, 2]$.
in diesem konkreten beispiel kriget man die werte zwischen $f(a)$ und $f(b)$ aber dadurch in den griff, dass die funktion monoton ist, also sich die werte der anderen zu betrachtenden $f(x)$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ aufhalten müssen!
im allgemeinen helfen einem da betrachtungen der maximalen und minimalen werte, die angenommen werden können, das kommt aber immer auf den einzelfall an!
> was den Mittelwertsatz betrifft :
>
> [mm]\bruch{f(x_{2})-f(x_{2})}{x_{2}- x_{1}}=f'(c)
[/mm]
>
> wobei die Kontraktionskonstante q:= max f'(c) ist ( wäre
> das dann bei I = [0;1] , f'(x) = [mm]1/4*e^{x/2}[/mm] einfach f'(1)
> = 0.4121803178 ? )
> und f'(c) würde sich dann max f'(x) annäheren je weiter
> die Funktion zum Fixpunkt konvergiert ?
>
>
> => [mm]|f(x_{2})-f(x_{2})|[/mm] = f'(c) * [mm]|x_{2}- x_{1}| \le[/mm] max
> [mm]|f'(c)|*|x_{2}- x_{1}|
[/mm]
>
>
> reicht das als beweis für die kontraktion ?
im prinzip ist das ok! vielleicht solltest du noch erwähnen, warum die ableitung genau bei $x=1$ maximal wird und außerdem, dass die lipschitz-konstante kleiner als $1$ ist - sonst wäre es ja keine kontraktion.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Di 01.03.2005 | | Autor: | Carsten |
Und wiedermal danke für die schnelle Antwort, ich habe jetzt die Aufgabe jetzt nach besten Wissen komplett bearbeitet und würde gerne wissen ob ich es richtig gemacht habe und vorallem ob die beweise korrekt und aussreichend sind. Wäre sehr lieb wenn das jemand überprüfen könnte
Gegeben ist die Funktion
f(x) [mm] =1/2*e^{x/2}
[/mm]
a) Zeigen Sie, daß es im Intervall [0; 1] genau eine Lösung der Gleichung x = f(x) gibt indem Sie
i) überprüfen, daß f das Intervall [0; 1] in sich abbildet und
ii) nachweisen, daß f kontrahierend ist.
zu i)
untersuchung von f(x) auf monotoni -> streng monoton wachsend
f(0) = 1/2 f(1)=0.8243606355 => 1/2 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 0,824...
[0,5;0,824] [mm] \subset [/mm] [0;1] = I
womit i) bewiesen wäre.
zu ii)
zu Beweisen ist das es ein q mit 0 [mm] \le [/mm] q < 1 gibt für das gilt :
[mm] \bruch{f(x_{2})-f(x_{2})}{x_{2}- x_{1}}=f'(c)
[/mm]
mit q := max f'(c) sowie
[mm] x_{n+1} [/mm] = f( [mm] x_{n})
[/mm]
=> q = max f'(c) = f'(1) = 0.4121803178 ( f'(1) weil f(x) streng monoton wachsend ist und das intervall von 0 bis 1 geht damit 1 max ist )
=> [mm] |f(x_{2})-f(x_{1})| [/mm] = f'(c) * | [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] | [mm] \le [/mm] max f'(c) * | [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] |
da durch [mm] x_{n+1} [/mm] = f( [mm] x_{n}) [/mm] gegeben ist das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] gegen einen Fixpunkt konvergiert
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}({x_n}-{x_(n-1)}) [/mm] konvergiert gegen 0
womit obiges bewiesen wäre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Fr 04.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
diesmal nicht ganz so schnell, aber immerhin.
>
> Gegeben ist die Funktion
> f(x) [mm]=1/2*e^{x/2}
[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, daß es im Intervall [0; 1] genau eine Lösung
> der Gleichung x = f(x) gibt indem Sie
> i) überprüfen, daß f das Intervall [0; 1] in sich
> abbildet und
> ii) nachweisen, daß f kontrahierend ist.
>
> zu i)
> untersuchung von f(x) auf monotoni -> streng monoton
> wachsend
> f(0) = 1/2 f(1)=0.8243606355 => 1/2 [mm]\le[/mm] f(x) [mm]\le[/mm]
> 0,824...
> [0,5;0,824] [mm]\subset[/mm] [0;1] = I
>
> womit i) bewiesen wäre.
ist ok.
> zu ii)
> zu Beweisen ist das es ein q mit 0 [mm]\le[/mm] q < 1 gibt für das
> gilt :
>
> [mm]\bruch{f(x_{2})-f(x_{2})}{x_{2}- x_{1}}=f'(c)
[/mm]
> mit q :=
> max f'(c) sowie
> [mm]x_{n+1}[/mm] = f( [mm]x_{n})
[/mm]
>
> => q = max f'(c) = f'(1) = 0.4121803178 ( f'(1) weil
> f(x) streng monoton wachsend ist und das intervall von 0
> bis 1 geht damit 1 max ist )
also ich denke, dass du zeigen willst, dass es ein $0 [mm] \leq [/mm] q < 1$ gibt, so dass [mm] $\forall \, x_1, x_2 \in [/mm] [0,1]: [mm] |f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2)| \leq [/mm] q [mm] |x_1 [/mm] - [mm] x_2|$. [/mm] das solltest du dann aber auch schrieben. außerdem, ist [mm] $f(x_n) [/mm] = [mm] x_{n+1}$ [/mm] an diese stelle noch nicht von belang. die [mm] $x_1, x_2$ [/mm] sind zwei beliebige zahlen aus dem intervall.
die begründung, warum [mm] $\max_{c \in [0,1]} [/mm] f'(c) = f'(1)$ stimmt nicht so ganz. du muss ja [mm] $f\red{'}$ [/mm] auf ein maximum untersuchen und nicht $f$!
> => [mm]|f(x_{2})-f(x_{1})|[/mm] = f'(c) * | [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}[/mm] | [mm]\le[/mm]
> max f'(c) * | [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}[/mm] |
>
> da durch [mm]x_{n+1}[/mm] = f( [mm]x_{n})[/mm] gegeben ist das
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] gegen einen Fixpunkt
> konvergiert
> => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}({x_n}-{x_(n-1)})[/mm] konvergiert
> gegen 0
>
> womit obiges bewiesen wäre
diesn abschnitt würde ich nicht übernehem, da die aussage direkt aus dem banachschen-fixpunktsatz folgt, dessen vorraussetzungen du ja obben verifiziert hast.
grüße
andreas
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