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| Aufgabe | Sei X ein Banachraum. Man nennt eine Abbildung f: X [mm] \to [/mm] X nicht expansiv, wenn [mm] \parallel [/mm] f(x)-f(y) [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] X.
Man nennt eine Folge [mm] \{x_n\} \subset [/mm] C [mm] \subset [/mm] X ene approximative Fixpunktfolge von T, wenn [mm] \parallel x_n [/mm] - [mm] T(x_n) \parallel \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Man wende den Banachfixpunktsatz an um zu zeigen:
Fixpunkte existieren für nicht expanisve Abbildungen, wenn C abgeschlossen, beschränkt und konvex in X ist. Man folgt, dass T einen Fixpunkt [mm] \IR^n [/mm] hat.
Hinweis: Man betrachtet [mm] T_n :=(1-\bruch{1}{n})T [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} c_0 [/mm] für [mm] c_0 \in [/mm] C. |
Hi,
zu dieser Aufgabe fällt mir gerade nichts ein, deswegen wäre ich euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei helfen könntet, den ich finde keinen Anfang.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 So 02.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> zu dieser Aufgabe fällt mir gerade nichts ein, deswegen
> wäre ich euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei helfen
> könntet, den ich finde keinen Anfang.
Es steht schon 80% der Lösung in der Aufgabe! Wende auf [m]T_n[/m] den BFP an, definiere dann die Folge [m](x_n)[/m] als Folge der Fixpunkte.
SEcki
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Hi Secki, die Sache ist aber, beim BFS muss ja
$ [mm] \parallel [/mm] $ f(x)-f(y) $ [mm] \parallel \le [/mm] q [mm] \parallel [/mm] $ x-y $ [mm] \parallel [/mm] $ gelten. Bei uns gilt jetzt aber nur $ [mm] \parallel [/mm] $ f(x)-f(y) $ [mm] \parallel \le \parallel [/mm] $ x-y $ [mm] \parallel [/mm] $...
kann ich so anfangen:
[mm] \parallel T_n(x)-T_n(y) \parallel \le \parallel (1-\bruch{1}{x})T [/mm] + [mm] \bruch{1}{x} c_0 [/mm] - [mm] (1-\bruch{1}{y})T [/mm] - [mm] \bruch{1}{y} c_0 \parallel [/mm] = [mm] \parallel T(\bruch{1}{y} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] c_0( \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{y})\parallel
[/mm]
Ist der Anfang so richtig, oder ist das völlig daneben, was ich da aufgeschrieben habe??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 02.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist der Anfang so richtig, oder ist das völlig daneben,
> was ich da aufgeschrieben habe??
Völlig daneben. Wie kommst du auf so etwas? Für festes n ist die Abbildung denn was genau? n ist eine Konstante, nicht die Variable von [m]T_n[/m]!
SEcki
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HI
> Für festes n ist die Abbildung denn was genau?
Ist denn [mm] T_n :=(1-\bruch{1}{n})T [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{n} c_0 [/mm] eine Funktion, die man kennen sollte??? denn ich weiß gerade nicht, was das genau für eine Abbildung ist.
Und was ist denn sonst die Variable hier, wenn es nicht n ist? T??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 02.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist denn [mm]T_n :=(1-\bruch{1}{n})T[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\bruch{1}{n} c_0[/mm] eine
> Funktion, die man kennen sollte??? denn ich weiß gerade
> nicht, was das genau für eine Abbildung ist.
die wurde da definiert ... also wenn man T kennt. [m]T_n(x):=(1-\bruch{1}{n})T(x)+\bruch{1}{n} c_0[/m], wobei [m]c_0[/m] ein Punkt in C ist.
> Und was ist denn sonst die Variable hier, wenn es nicht n
> ist? T??
Nein, T ist eine Funktion ... siehe oben. Du solltest dich einmal mit der verwendeten Notation auseinandersetzen!
SEcki
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Hi,
dann müsste es aber so richtig sein, oder?
[mm] \parallel T_n(x)-T_n(y) \parallel [/mm] = [mm] \parallel (1-\bruch{1}{n})T(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} c_0 [/mm] - [mm] (1-\bruch{1}{n})T(y) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} c_0 \parallel [/mm] = [mm] \parallel (T(x)-T(y))((1-\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n} c_0 )\parallel [/mm]
nur, wie gehts jetzt weiter??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 03.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> dann müsste es aber so richtig sein, oder?
Nein. Um Himmels Willen, Kraut und Rüben ... du musst echt noch mal die Grundlagen der mathematischen Notation durchgehen - und vor allem was eine lineare Abbildung ist!
>
> [mm]\parallel T_n(x)-T_n(y) \parallel[/mm] = [mm]\parallel (1-\bruch{1}{n})T(x)[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{n} c_0[/mm] - [mm](1-\bruch{1}{n})T(y)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{n} c_0 \parallel[/mm] = [mm]\parallel (T(x)-T(y))((1-\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n} c_0 )\parallel[/mm]
Was soll die Termumformung? Die ist ordentlich falsch. Wie kommst du auf die? Ich kann da echt nicht ansetzen, dir zu helfen ...
SEcki
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Heeeee,
ich soll doch den BFS anwenden, und der sagt mir doch ganz grob gesagt, dass [mm] \parallel [/mm] $ f(x)-f(y) $ [mm] \parallel \le [/mm] q [mm] \parallel [/mm] $ x-y $ [mm] \parallel [/mm] genau einen Fixpunkt hat.
So jetzt hatte ich mir gedacht, dass ich anstellen von f(x) und f(y) einfach T(x) und T(y) dort einsetze. deswegen kam ich auf:
> $ [mm] \parallel T_n(x)-T_n(y) \parallel [/mm] $ = $ [mm] \parallel (1-\bruch{1}{n})T(x) [/mm] $
> + $ [mm] \bruch{1}{n} c_0 [/mm] $ - $ [mm] (1-\bruch{1}{n})T(y) [/mm] $ -
> $ [mm] \bruch{1}{n} c_0 \parallel [/mm] $ = $ [mm] \parallel (T(x)-T(y))((1-\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n} c_0 )\parallel [/mm] $
wie soll ich denn sonst anfangen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Nochmal von vorne:
Es ist T:C [mm] \to [/mm] C nichtexpansiv und C abgeschlossen , beschränkt und konvex.
Zunächst mußt Du zeigen:
(1) [mm] T_n(C) \subseteq [/mm] C.
(Dabei hilft Dir die Konvexität von C)
Wenn Du es mal ordentlich aufschreibst, solltest Du erhalten:
[mm] $||T_n(x)-T_n(y)|| \le [/mm] (1-1/n)||T(x)-T(y)||$ für x,y in C
Nutze nun aus, dass dass T nichtexpansiv istund Du erhälst:
(2) [mm] T_n [/mm] ist auf C kontrahierend.
Wegen (1) und (2) und der Abgeschlossenheit von C, erfüllt jedes [mm] T_n [/mm] die Vor. des Banachschen Fixpunktsatzes.
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es also in [mm] x_n \in [/mm] C mit
(3) [mm] T_n(x_n) [/mm] )= [mm] x_n.
[/mm]
Aus (3) folgere : $ [mm] \parallel x_n [/mm] $ - $ [mm] T(x_n) \parallel \to [/mm] 0$
Dabei brauchst Du die Beschränktheit von C
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig interpretiere, ist C eine Teilmenge des [mm] \IR^n. [/mm] Wenn das so ist, so brauchst Du noch den Satz von Bolzano-Weierstraß, um aus [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge auszufiltern.
So, nun arbeite mal obiges Programm ab.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mo 03.05.2010 | | Autor: | jaruleking |
ok, damit habe ich es gepackt. danke.
gruß
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