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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:16 Mi 04.08.2010 | | Autor: | kantenkoenig |
| Aufgabe | | Sei [mm] $E_1,E_2,\ldots$ [/mm] eine Folge von Banachräumen. Definiere [mm] $$\bigoplus_{p}E_n:=\left\{(x_n):x_n\in E_n,\left(\sum_{n=1}^\infty\left\|x_n\right\|^p\right)^{\frac {1} {p}}<\infty\right\}$$. [/mm] Es gilt dann für [mm] $$\frac [/mm] {1} [mm] {p}+\frac [/mm] {1} {q}=1$$: [mm] $\left(\bigoplus_pE_n\right)'\cong \bigoplus_{q}E'_n$, [/mm] wobei $E'$ den jeweiligen Dualraum benzeichnet. |
Also ich denk das dieser Beweis konstruktiv geht, also eine Abbildung angeben und dann zeigen, dass sie die geforderten Eigenschaften erfüllt, aber mir fällt dazu momentan nichts ein. Hat jemand vielleicht einen Ansatz, wäre sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mi 04.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]$E_1,E_2,\ldots$[/mm] eine Folge von Banachräumen.
> Definiere [mm]\bigoplus_{p}E_n:=\left\{(x_n):x_n\in E_n,\left(\sum_{n=1}^\infty\left\|x_n\right\|^p\right)^{\frac {1} {p}}<\infty\right\}[/mm].
> Es gilt dann für [mm]\frac {1} {p}+\frac {1} {q}=1[/mm]:
> [mm]$\left(\bigoplus_pE_n\right)'\cong \bigoplus_{q}E'_n$,[/mm]
> wobei $E'$ den jeweiligen Dualraum benzeichnet.
> Also ich denk das dieser Beweis konstruktiv geht, also
> eine Abbildung angeben und dann zeigen, dass sie die
> geforderten Eigenschaften erfüllt, aber mir fällt dazu
> momentan nichts ein. Hat jemand vielleicht einen Ansatz,
> wäre sehr dankbar.
Ich mach mal einen educated guess (nicht böse sein wenn's Murks war):
Sei [mm] E:=\oplus_{p;j=1}^\infty E_j [/mm] und und [mm] E^\*:=\oplus_{q;j=1}^\infty E_j'
[/mm]
Ein [mm] F\in E^\* [/mm] hat die Form [mm] F=(f_j)_{j\in\IN}, [/mm] wobei [mm] f_j\in E_j'. [/mm]
Ein [mm]G\in E'[/mm] ist eine Abbildung, die die [mm]y=(y_j)_{j\in\IN}\in E[/mm] linear und stetig nach [mm] \IR [/mm] abbildet.
Sei für [mm] x\in E_j [/mm] definiert: [mm]\pi_j(x):=\underbrace{(0,...,0,x,0,...)}_{j-te Stelle}\in E[/mm].
Dann würde ich mit den obigen [mm]F[/mm] und [mm]G[/mm] folgende Bildungen untersuchen:
[mm] g_j:E_j\to\IR;x\mapsto G(\pi_j(x)) [/mm] und [mm] I:E'\to E^\*; I(G):=(g_j)_{j\in\IN}\in E^\*
[/mm]
sowie
[mm]J:E^\*\to E'[/mm]; für [mm]y\in E: J(F)(y):=\summe_{j\in\IN} f_j(y_j)[/mm]
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 05.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Eine Sache vorweg, du hast es nicht explizit erwähnt aber ich geh im folgenden davon aus, dass wir eine abzählbare Familie von Banachräumen [mm] $(E_j,\|\cdot\|_j)_{j\in\IN}$ [/mm] betrachten.
Wenn man den Isomorphismus von [mm] $(\ell^p)'\cong\ell^q$ [/mm] kennt, sollte es eigentlich nicht so schwer sein das auf diese Situation zu übertragen. Also ich empfehle dir schau dir mal die folgende Abbildung an: [mm] $$\bigoplus_q E_j'\ni\varphi\mapsto\Phi(\varphi)\in\left(\bigoplus_pE_j\right)'\qquad\text{wobei } \Phi(\varphi)(x):=\sum_{j\in\IN}\varphi_j(x_j)\ \text{falls }\varphi=(\varphi_j)_j{\in\IN}\text{ und }x=(x_j)_{j\in\IN}$$ [/mm] Nun musst du zeigen, das [mm] $\Phi$ [/mm] wohldefiniert, linear und stetig ist. Für den ersten und letzten diieser drei Punkte brauchst du die Höldersche Ungleichung. Die Injektivität ist auch einfach zu sehen. Nur bei der Surjektivität komm ich grad nicht weiter...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 05.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
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> Eine Sache vorweg, du hast es nicht explizit erwähnt aber
> ich geh im folgenden davon aus, dass wir eine abzählbare
> Familie von Banachräumen [mm](E_j,\|\cdot\|_j)_{j\in\IN}[/mm]
> betrachten.
>
> Wenn man den Isomorphismus von [mm]$(\ell^p)'\cong\ell^q$[/mm]
> kennt, sollte es eigentlich nicht so schwer sein das auf
> diese Situation zu übertragen. Also ich empfehle dir schau
> dir mal die folgende Abbildung an: [mm]\bigoplus_q E_j'\ni\varphi\mapsto\Phi(\varphi)\in\left(\bigoplus_pE_j\right)'\qquad\text{wobei } \Phi(\varphi)(x):=\sum_{j\in\IN}\varphi_j(x_j)\ \text{falls }\varphi=(\varphi_j)_j{\in\IN}\text{ und }x=(x_j)_{j\in\IN}[/mm]
> Nun musst du zeigen, das [mm]$\Phi$[/mm] wohldefiniert, linear und
> stetig ist. Für den ersten und letzten diieser drei Punkte
> brauchst du die Höldersche Ungleichung. Die Injektivität
> ist auch einfach zu sehen. Nur bei der Surjektivität komm
> ich grad nicht weiter...
Nur mal ins Unreine gefragt:
Wenn [mm] \psi\in\left(\oplus_p E_n\right)' [/mm] und [mm] \pi_j:E_j\to\oplus_p E_n\right; E_j\ni x\mapsto (0,0,...,x,0,0,...)\in [/mm] E, dann ist [mm] \psi\circ \pi_j\in E_j', [/mm] oder?
Und man hätte [mm] \Phi((\psi\circ \pi_j))((x_k))=\summe \psi(\pi_j(x_j))=\psi(\summe \pi_j(x_j))=\psi((x_j)), [/mm] oder?
LG
gfm
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Ich denke du meinst das: [mm] \\
[/mm]
(i): [mm] $E_j$ [/mm] für [mm] $j\in \mathbb{N}$ [/mm] lässt sich in [mm] $\bigoplus_qE_n$ [/mm] einbetten mit [mm] $\pi_j:E_j\hookrightarrow \bigoplus_qE_n,x\mapsto (0,\ldots,0,x,0,\ldots)$. \\
[/mm]
(ii): [mm] $\psi\in \bigoplus_qE'_n$ [/mm] und [mm] $\psi\circ \pi_j=(0,\ldots,0,\psi_j\circ \pi_j,0,\ldots)\in \bigoplus_qE'_n$. \\
[/mm]
(iv): Also ist [mm] $(\Phi(\psi\circ \pi_j))(x)=\psi_j(x_j)=\psi(x_j)$, $x=(x_n)$
[/mm]
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:37 Do 05.08.2010 | | Autor: | pelzig |
> (i): [mm]E_j[/mm] für [mm]j\in \mathbb{N}[/mm] lässt sich in
> [mm]\bigoplus_qE_n[/mm] einbetten mit [mm]\pi_j:E_j\hookrightarrow \bigoplus_qE_n,x\mapsto (0,\ldots,0,x,0,\ldots)[/mm].
Ja... die sind auch stetig, sogar isometrische Isomorphismen auf ihr Bild.
> (ii): [mm]\psi\in \bigoplus_qE'_n[/mm] und [mm]\psi\circ \pi_j=(0,\ldots,0,\psi_j\circ \pi_j,0,\ldots)\in \bigoplus_qE'_n[/mm].
Es ist [mm] $\psi\circ\pi_j\in\red{E_j'}$!
[/mm]
> (iv): Also ist [mm](\Phi(\psi\circ \pi_j))(x)=\psi_j(x_j)=\psi(x_j)[/mm], [mm]x=(x_n)[/mm]
[mm] $\Phi(\psi\circ\pi_j)$ [/mm] ist nicht definiert.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Do 05.08.2010 | | Autor: | pelzig |
> Nur mal ins Unreine gefragt:
>
> Wenn [mm]\psi\in\left(\oplus_p E_n\right)'[/mm] und
> [mm]\pi_j:E_j\to\oplus_p E_n\right; E_j\ni x\mapsto (0,0,...,x,0,0,...)\in[/mm]
> E, dann ist [mm]\psi\circ \pi_j\in E_j',[/mm] oder?
Korrekt. Die Linearität von [mm] $\psi\circ\pi_j$ [/mm] ist offensichtlich. Die Steitkeit ist klar, weil auch die [mm] $\pi_j$ [/mm] stetig sind.
> Und man hätte [mm]\Phi((\psi\circ \pi_j))((x_k))=\summe \psi(\pi_j(x_j))=\psi(\summe \pi_j(x_j))=\psi((x_j)),[/mm]
Das macht so keinen Sinn, da wie du schon gesagt hast [mm] $\psi\circ\phi_j\in E_j'$, [/mm] aber [mm] $\Phi$ [/mm] (so wie ich es definiert habe) operiert ja auch [mm] $\bigoplus_qE_j'$. [/mm] Die restlichen Gleichheiten sind auch irgendwie sehr seltsam (um nicht zu sagen falsch)... da solltests du noch mal aufmerksam drüber schauen...
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:03 Do 05.08.2010 | | Autor: | gfm |
> > Nur mal ins Unreine gefragt:
> >
> > Wenn [mm]\psi\in\left(\oplus_p E_n\right)'[/mm] und
> > [mm]\pi_j:E_j\to\oplus_p E_n\right; E_j\ni x\mapsto (0,0,...,x,0,0,...)\in[/mm]
> > E, dann ist [mm]\psi\circ \pi_j\in E_j',[/mm] oder?
> Korrekt. Die Linearität von [mm]\psi\circ\pi_j[/mm] ist
> offensichtlich. Die Steitkeit ist klar, weil auch die [mm]\pi_j[/mm]
> stetig sind.
> > Und man hätte [mm]\Phi((\psi\circ \pi_j))((x_k))=\summe \psi(\pi_j(x_j))=\psi(\summe \pi_j(x_j))=\psi((x_j)),[/mm]
> Das macht so keinen Sinn, da wie du schon gesagt hast
> [mm]\psi\circ\phi_j\in E_j'[/mm], aber [mm]\Phi[/mm] (so wie ich es definiert
> habe) operiert ja auch [mm]\bigoplus_qE_j'[/mm]. Die restlichen
> Gleichheiten sind auch irgendwie sehr seltsam (um nicht zu
> sagen falsch)... da solltests du noch mal aufmerksam
> drüber schauen...
Sei [mm] x:=(x_j)_{j\in\IN}\in\oplus_p E_n. [/mm] und [mm] \psi\in\left(\oplus_p E_n\right)'. [/mm] Dann ist [mm] \pi_j(x_j)\in\oplus_p E_n [/mm] für alle j und [mm] \psi\circ \pi_j\in E_j' [/mm] und (hoffentlich) [mm] \xi:=(\xi_j)_{j\in\IN}:=(\psi\circ \pi_j)_{j\in\IN}\in\bigoplus_qE_j'. [/mm] Dann ist [mm] \Phi(\xi)(x)=\summe_j \xi_j(x_j)=\summe_j \psi(\pi_j(x_j))=\psi(\summe_j \pi_j(x_j))
[/mm]
[mm] =\psi((x_1,0,0,0,...)+(0,x_2,0,...)+...)=\psi((x_1,x_2,...))=\psi(x).
[/mm]
Zumindest algebraisch sollte es passen, oder? Und [mm] \psi [/mm] selber ist ja stetig und die Reihe konvergiert, deswegen ist doch das Vertauschen erlaubt, oder? Nur der Teil nach "(hoffentlich)" bereitet mir Kopfschmerzen...
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 07.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Falls [mm] $\psi\circ \pi_j\in [/mm] E'_j$ so ist [mm] $\psi\circ \pi_j=\psi|_{\pi_j(E_j)}\in [/mm] E'_j$ aber [mm] $\psi|_{\pi_j(E_j)}=(\psi_n)|_{\pi_j(E_j)}\notin [/mm] E'_j$, denn [mm] $\psi$ [/mm] ist eine "Folge" von Funktionalen. Ich denke man könnte vielleicht mit einem [mm] $\gamma^{-1}$ [/mm] vorgehen, mit [mm] $\gamma^{-1}(\psi\circ \pi_j)\in [/mm] E'_j$, [mm] $\gamma:E'_j\hookrightarrow \bigoplus_qE'_n,x'\mapsto (0,\ldots,0,x',0,\ldots)$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Do 05.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Falls [mm]\psi\circ \pi_j\in E'_j[/mm] so ist [mm]\psi\circ \pi_j=\psi|_{\pi_j(E_j)}\in E'_j[/mm]
> aber [mm]\psi|_{\pi_j(E_j)}=(\psi_n)|_{\pi_j(E_j)}\notin E'_j[/mm],
> denn [mm]\psi[/mm] ist eine "Folge" von Funktionalen. Ich denke man
[mm] E_j\ni x_j\mapsto\underbrace{\pi_j(x_j)}_{=(0,...,0,x_j,0,...)\in\otimes_p E_n}\mapsto\psi(\pi_j(x_j))\in\IR. \Rightarrow \psi\circ\pi_j\in E_j'
[/mm]
LG
gfm
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