www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Banachraum
Banachraum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Banachraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Mo 14.04.2008
Autor: Igor1

Hallo,

zur []Übung (G1)  habe ich folgende Frage:

Um zu zeigen, dass [mm] C^{1}[a,b] [/mm] kein Banachraum ist, muss man zeigen, dass es eine Cauchy-Folge gibt, die nicht in [mm] C^{1}[a,b] [/mm] konvergiert.

Kann mir jemand einen Tipp geben , worauf ich bei der Konstruktion dieser Cauchy-Folge am besten achten soll ?

MfG
Igor



        
Bezug
Banachraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mo 14.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> zur
> []Übung
> (G1)  habe ich folgende Frage:
>  
> Um zu zeigen, dass [mm]C^{1}[a,b][/mm] kein Banachraum ist, muss man
> zeigen, dass es eine Cauchy-Folge gibt, die nicht in
> [mm]C^{1}[a,b][/mm] konvergiert.
>  
> Kann mir jemand einen Tipp geben , worauf ich bei der
> Konstruktion dieser Cauchy-Folge am besten achten soll ?

dort steht ja, dass [mm] $C^1[a,b]$ [/mm] "versehen mit der Supremumsnorm" kein Banachraum ist.

Und weil [mm] $(C[a,b],||.||_\infty)$ [/mm] aber ein Banachraum ist, werden wir wohl eine Funktionenfolge angeben müssen, die in [mm] $C^1[a,b]$ [/mm] ist und deren (in notwendiger Weise stetige) Grenzfunktion aber (an wenigstens einer Stelle) nicht diff'bar ist.

Naheliegend für eine solche Grenzfunktion:
$f(x)=|x|$ ist an [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht diff'bar.

Zu der Funktionenfolge:
O.E. kannst Du z.B. $[a,b]=[-1,1]$ annehmen (ansonsten betrachte die Bijektion $t: [a,b] [mm] \to [/mm] [-1,1]$ mit [mm] $t(x)=2*\frac{1}{b-a}x-\frac{a+b}{b-a}$). [/mm]

Nun:

Betrachte [mm] $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$ [/mm]    $(x [mm] \in [/mm] [-1,1])$

(Genausogut sollte es allgemeiner möglich sein:
Sind alle [mm] $a_n [/mm] > 0$ und gilt [mm] $a_n \to [/mm] 0$, so betrachte:

[mm] $f_n(x)=\sqrt{x^2+a_n}$. [/mm] Ich habe nur schon speziell [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] benutzt.)

Das sind alles [mm] $C^1[-1,1]$-Funktionen [/mm] (Du musst hier noch nachrechnen bzw. besser: begründen, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] auch diff'bar ist.)
Sie konvergieren gleichmäßig gegen [mm] $f(x)=\sqrt{x^2}=|x|$ [/mm] auf $[-1,1]$.

(Bei dem Beweis dazu kann man z.B. ausnutzen, dass [mm] $\sqrt{r+s} \le \sqrt{r}+\sqrt{s}$ [/mm] für alle $r,s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt.)

Daher:
Die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] konvergiert in [mm] $(C[-1,1],||.||_\infty)$ [/mm] und der Raum [mm] $(C^{\green{1}}[-1,1],||.||_\infty)$ [/mm] ist ein Teilraum von [mm] $(C[-1,1],||.||_\infty)$. [/mm]
Warum ist dann [mm] $(f_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge in [mm] $(C^{\green{1}}[-1,1],||.||_\infty)$? [/mm]

Warum kann [mm] $(f_n)_n$ [/mm] in [mm] $C^{\green{1}}[-1,1]$ [/mm] aber nicht konvergieren?  

Gruß,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de